Definition der Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft ist eine Kraft, die auf ein Objekt wirkt, das sich entlang einer gekrümmten Bahn bewegt. Die Richtung dieser Kraft ist immer auf die Mitte der Kurve gerichtet und sorgt dafür, dass das Objekt auf dieser Bahn bleibt und es daran gehindert wird, seine Bewegung in einer geraden Linie fortzusetzen.

Krummlinige Bewegung und Zentripetalkraft

Angenommen, wir haben ein Objekt, das sich auf einer Kreisbahn bewegt. Um die krummlinige Bewegung dieses Körpers zu beschreiben, werden Winkel- und Linearvariablen verwendet. Winkelvariablen beschreiben die Bewegung des Objekts anhand des Winkels, den es entlang seiner Bahn „streicht“. Auf der anderen Seite sind lineare Variablen diejenigen, die verwenden seine Position in Bezug auf den Drehpunkt und seine Geschwindigkeit in der tangentialen Richtung des Kurve.

Die Zentripetalbeschleunigung \({a_c}\), die ein Objekt erfährt, das sich auf einer Flugbahn bewegt kreisförmig mit einer Tangentialgeschwindigkeit \(v\) und im Abstand \(r\) vom Rotationspunkt sein gegeben von:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Die Zentripetalbeschleunigung ist eine lineare Variable, die zur Beschreibung einer krummlinigen Bewegung verwendet wird und auf die Mitte der gekrümmten Bahn gerichtet ist. Andererseits ist die Winkelgeschwindigkeit ω des Objekts, also die Änderungsrate des überstrichenen Winkels (im Bogenmaß) pro Zeiteinheit, gegeben durch:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Oder wir können nach \(v\) auflösen:

\(v = \omega r\)

Dies ist die Beziehung, die zwischen Lineargeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit besteht. Wenn wir dies in den Ausdruck für die Zentripetalbeschleunigung einsetzen, erhalten wir:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt, dass die Beschleunigung eines Körpers direkt proportional zur auf ihn ausgeübten Kraft und umgekehrt proportional zu seiner Masse ist. Oder in seiner bekanntesten Form:

\(F = ma\)

Dabei ist \(F\) die Kraft, \(m\) die Masse des Objekts und \(a\) die Beschleunigung. Bei einer krummlinigen Bewegung muss bei einer Zentripetalbeschleunigung auch eine Kraft vorhanden sein zentripetal \({F_c}\), das auf den Körper der Masse \(m\) wirkt und die Zentripetalbeschleunigung \({a_c}\) verursacht, ist sagen:

\({F_c} = m{a_c}\)

Wenn wir die vorherigen Ausdrücke für die Zentripetalbeschleunigung einsetzen, erhalten wir Folgendes:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Die Zentripetalkraft ist auf die Mitte der krummlinigen Bahn gerichtet und dafür verantwortlich Sie ändern ständig die Richtung, in die sich das Objekt bewegt, um es in Bewegung zu halten gebogen.

Schwerkraft als Zentripetalkraft und Keplers Drittes Gesetz

Keplers drittes Gesetz der Planetenbewegung besagt, dass das Quadrat der Umlaufzeit, also der Zeit, ist Die Zeit, die ein Planet benötigt, um eine Umlaufbahn um die Sonne zu vollenden, ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse der Sonne Orbit. Das ist:

\({T^2} = C{r^3}\)

Dabei ist \(T\) die Umlaufzeit \(C\), eine Konstante und \(r\) die große Halbachse oder der maximale Abstand zwischen dem Planeten und der Sonne während seiner gesamten Umlaufbahn..

Stellen Sie sich der Einfachheit halber einen Planeten mit der Masse \(m\) vor, der sich auf einer Kreisbahn bewegt um die Sonne, obwohl diese Analyse auf den Fall einer elliptischen Umlaufbahn ausgedehnt werden kann und dasselbe erhält Ergebnis. Die Kraft, die den Planeten auf seiner Umlaufbahn hält, ist die Schwerkraft, die wie folgt sein wird:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Dabei ist \({F_g}\) die Schwerkraft, \({M_S}\) die Masse der Sonne, \(G\) die universelle Gravitationskonstante und \(r\) der Abstand zwischen den Planeten und die Sonne. Bewegt sich der Planet jedoch auf einer Kreisbahn, erfährt er eine Zentripetalkraft \({F_c}\), das es auf der besagten Flugbahn hält und das in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) sein wird gegeben von:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Das Merkwürdige ist, dass in diesem Fall die Schwerkraft die Zentripetalkraft ist, die den Planeten auf seiner Umlaufbahn hält, in wenigen Worten \({F_g} = {F_c}\), daher können wir sagen:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Was wir vereinfachen können als:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Die Winkelgeschwindigkeit hängt wie folgt mit der Umlaufzeit zusammen:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Wenn wir dies in die vorherige Gleichung einsetzen, erhalten wir Folgendes:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Wenn wir die Begriffe umstellen, erhalten wir schließlich Folgendes:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Letzteres ist genau das dritte Keplersche Gesetz, das wir zuvor vorgestellt haben, und wenn wir die Proportionalitätskonstante vergleichen, wäre sie \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Was ist mit der Zentrifugalkraft?

Bei dieser Art von Bewegung spricht man häufiger von „Zentrifugalkraft“ statt von Zentripetalkraft. Vor allem, weil es das ist, was wir scheinbar fühlen, wenn wir das erleben. Allerdings ist die Zentrifugalkraft eine fiktive Kraft, die aus der Trägheit resultiert.

Stellen wir uns vor, wir sitzen in einem Auto, das mit einer bestimmten Geschwindigkeit fährt und plötzlich bremst. Wenn dies geschieht, spüren wir eine Kraft, die uns vorwärts treibt. Diese scheinbare Kraft, die wir spüren, ist jedoch die Trägheit unseres eigenen Körpers, der seinen Bewegungszustand aufrechterhalten möchte.

Bei einer krummlinigen Bewegung ist die Zentrifugalkraft die Trägheit des Körpers, der seine Kraft aufrechterhalten will Es bewegt sich geradlinig, unterliegt jedoch einer Zentripetalkraft, die es auf der gekrümmten Bahn hält.

Verweise

David Halliday, Robert Resnick und Jearl Walker. (2011). Grundlagen der Physik. Vereinigte Staaten: John Wiley & Sons, Inc.