Beispiel für Vollraum

Mathematische Analysis ist der Zweig der mathematischen Wissenschaften, der sich mit der Erforschung von voller raum, die eine Art metrischer Raum ist.

Ein metrischer Raum besteht aus Paaren von Punkten und einer Funktion der Entfernung zwischen ihnen; in diesen Räumen lässt sich eine Cauchy-Folge definieren, die durch immer kleinere Abstände zwischen diesen beiden Punkten gebildet wird. Wenn es im metrischen Raum nicht mehr möglich ist, einen kleineren Abstand in der Folge zu finden, dann gilt a voller raum. Geschlossene Zahlenmengen, also solche, in denen es einen Grenzwert gibt, sind vollständige Räume.

Beispiel für Vollraum:

Die Menge der natürlichen Zahlen, einschließlich 0, ist ein vollständiger Raum, da diese Menge durch das Extrem von 0 abgeschlossen ist. Die Darstellung dieser Zahlenmenge ist Nein= [0, 1, 2, … n}.

Nehmen wir zwei beliebige Punkte zwischen zwei Elementen dieser Menge, zum Beispiel 4 und 8, dargestellt in der folgenden Weise p = (4, 8), die Abstandsfunktion zwischen zwei Punkten ist gleich 4, die Cauchy-Folge ist gegeben durch die Folge {4, 3, 2, 1, 0}, die gegen konvergiert 0.

Ein weiteres Beispiel ist die mit {0} gebildete Menge positiver reeller Zahlen, die als. dargestellt wird UND⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. Nein}, da bei gegebenen zwei Punkten in diesem Raum die Cauchy-Folge konvergiert, wenn der Abstand 0. beträgt

Die Menge der rationalen Zahlen ist kein vollständiger Raum, da der Abstand 0 (die Zahl 0 als Zahl nicht existiert in dieser Menge), was dazu führt, dass die Cauchy-Folge an keiner Stelle dieser Menge konvergent ist einstellen.

Jedes abgeschlossene Intervall der natürlichen Zahlen ist ein vollständiger Raum.