Ορισμός της Μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Βασικά, μη ευκλείδειες γεωμετρίες είναι αυτές που προκύπτουν από την αμφισβήτηση των λεγόμενων. Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, επομένως είναι απαραίτητος ένας γενικός χαρακτηρισμός του έργου του Ευκλείδη, ο οποίος ήταν Έλληνας μαθηματικός και γεωμέτρης, του οποίου το έργο είναι παραδειγματικό για τον Γεωμετρία, να θεωρείται ένας από τους ιδρυτές του. Είναι γνωστό με βεβαιότητα ασφάλεια που έζησε στην πόλη της Αλεξάνδρειας, πολιτιστικό επίκεντρο της αρχαιότητας, γύρω στο έτος 300 π.Χ. ντο.

Η δουλειά του Στοιχεία ξεκινά με μια σειρά «αρχών», που αποτελείται από μια λίστα 23 ορισμών. ακολουθούνται από 5 αξιώματα, που αναφέρονται σε

φιγούρες συγκεκριμένα γεωμετρικά? και 5 γενικά αξιώματα, κοινά σε άλλους μαθηματικούς κλάδους. Στη συνέχεια, μετά τις αρχές, ο Ευκλείδης εισάγει τις «προτάσεις», δύο ειδών: προβλήματα, που αναφέρονται στο Κτίριο των μορφών με κανόνα και πυξίδα? και θεωρήματα, που αναφέρονται στην απόδειξη των ιδιοτήτων που ορισμένοι γεωμετρικά σχήματα.

Το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη

Δηλώνει ότι «Εάν μια ευθεία γραμμή που πέφτει σε δύο άλλες ευθείες κάνει τις εσωτερικές γωνίες της ίδιας πλευράς μικρότερες από δύο ευθείες, τότε, αν οι δύο γραμμές παραταθούν επ' αόριστον, συναντώνται στην πλευρά στην οποία οι γωνίες είναι μικρότερες από δύο ευθεία”. Εάν οι γωνίες ήταν ορθές, τότε τέτοιες γραμμές, σύμφωνα με τον ορισμό αρ. 23, θα ήταν παράλληλες ("Παράλληλες ευθείες είναι οι ευθείες που, αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και παρατείνονται επ' αόριστον, δεν συναντώνται σε καμία κατεύθυνση.”).

Αυτό το αξίωμα, πιο περίπλοκο από τα προηγούμενα, δεν ήταν από μόνο του αναμφισβήτητο: δεν ήταν προφανές ότι, παρατείνοντας γραμμές απεριόριστα, θα τέμνονται στην πλευρά όπου οι γωνίες ήταν μικρότερες από δύο ορθές, αφού δεν θα ήταν δυνατό να το αποδείξουμε με Κτίριο. Στη συνέχεια, έμεινε ανοιχτό το ενδεχόμενο οι γραμμές να πλησίαζαν η μία την άλλη επ' αόριστον χωρίς να διασταυρωθούν ποτέ.

Προσπάθειες να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα

Γι' αυτόν τον λόγο, από την Αρχαιότητα μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, υπήρξε μια σειρά αποτυχημένων προσπαθειών για να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα: μια απόδειξη πάντα επιτυγχανόταν. αλλά εισάγοντας κάποιο άλλο πρόσθετο αξίωμα (λογικά ισοδύναμο με το πέμπτο), διαφορετικό από αυτά του Ευκλείδη. Δηλαδή, το πέμπτο αξίωμα δεν μπορούσε να αποδειχθεί, αλλά αντικαταστάθηκε από ένα αντίστοιχο.

Ένα παράδειγμα αυτού είναι το αξίωμα του John Playfair (σ. XVIII): "Ένα μόνο σημείο παράλληλο σε αυτήν την ευθεία διέρχεται από ένα σημείο έξω από μια ευθεία που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο." (γνωστός ως "παράλληλο αξίωμα”). Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες προκύπτουν ακριβώς από τις αποτυχημένες προσπάθειες να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδειου συστήματος.

Το τεστ παραλογισμού του Saccheri

Το 1733, ο Ιταλός μαθηματικός Girolamo Saccheri προσπάθησε να αποδείξει το παράλογο του πέμπτου αξιώματος του Ευκλείδη. Για να το κάνει αυτό, κατασκεύασε ένα τετράπλευρο (γνωστό ως "Το τετράπλευρο του Saccheri», στο οποίο ένα ζεύγος γωνιών είναι ορθές) και δήλωσε ότι το πέμπτο αξίωμα είναι ισοδύναμο με την πρόταση ότι το χαρακτηριστικές γωνίες (αυτές που βρίσκονται απέναντι από το ζεύγος των ορθών γωνιών) αυτού του τετραπλεύρου είναι επίσης ορθές. τότε είναι τρεις υπόθεση πιθανή, αμοιβαία αποκλειστική: ότι οι δύο χαρακτηριστικές γωνίες είναι ορθές, οξείες ή αμβλείες. Για να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα με το παράλογο, ήταν απαραίτητο να αποδειχθεί (χωρίς να καταφύγουμε στο πέμπτο υποτίθεται) ότι οι υποθέσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας υποδηλώνουν αντίφαση και, επομένως, ήταν ψευδής.

Ο Saccheri κατάφερε να αποδείξει ότι η υπόθεση της αμβλείας γωνίας είναι αντιφατική, αλλά δεν τα κατάφερε στην περίπτωση της οξείας γωνίας. Αντίθετα, συνήγαγε μια σειρά θεωρημάτων συνεπών και ασυμβίβαστων με την Ευκλείδεια γεωμετρία. Τέλος, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι, δεδομένου του παράξενου χαρακτήρα αυτών των θεωρημάτων, η υπόθεση πρέπει να είναι ψευδής. Κατά συνέπεια, πίστευε ότι είχε αποδείξει το πέμπτο αξίωμα παράλογο. Ωστόσο, αυτό που έκανε ήταν να αποδείξει άθελά του ένα σημαντικό σύνολο θεωρημάτων της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Η «ταυτόχρονη» ανακάλυψη μη ευκλείδειων γεωμετριών

Καρλ Φ. Ο Γκάους, τον δέκατο ένατο αιώνα, ήταν ο πρώτος που υποψιάστηκε ότι το πέμπτο αξίωμα δεν μπορούσε να αποδειχθεί από τα άλλα τέσσερα (δηλαδή ότι ήταν ανεξάρτητα) και στη σύλληψη της δυνατότητας μιας μη ευκλείδειας γεωμετρίας που βασιζόταν στα τέσσερα ευκλείδεια αξιώματα και στην άρνηση του πέμπτος. Δεν δημοσίευσε ποτέ την ανακάλυψή του: αυτό θεωρείται περίπτωση ταυτόχρονη ανακάλυψη, γιατί είχε τρεις ανεξάρτητους αναφορείς (τον ίδιο τον Γκάους, τον Γιάνος Μπολιάι και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι).

Η άρνηση σε πέμπτος νόμος του Ευκλείδειου υπονοεί δύο πιθανότητες (αναλαμβάνοντας την ισοδύναμη διατύπωση του Playfair): μέσω ενός σημείου εκτός ευθείας γραμμής, είτε δεν υπάρχουν παράλληλα περάσματα, είτε περισσότερα από ένα παράλληλα περάσματα. Μεταξύ των μη ευκλείδειων γεωμετριών βρίσκουμε, για παράδειγμα, τη γεωμετρία "φανταστικο» του Λομπατσέφσκι, -αργότερα γνωστό ως «υπερβολικός"- σύμφωνα με, "Δίνεται ένα εξωτερικό σημείο σε μια ευθεία, άπειρες τεμνόμενες γραμμές, άπειρες μη τεμνόμενες ευθείες και μόνο δύο παράλληλες ευθείες διέρχονται από αυτό το σημείο.”, σε αντίθεση με το μοναδικό Ευκλείδειο παράλληλο. ή την ελλειπτική γεωμετρία του Bernhard Riemann, που δηλώνει ότι "Μέσα από ένα σημείο έξω από μια ευθεία, δεν διέρχεται παράλληλο σε αυτήν την ευθεία.”.

Εφαρμογές και επιπτώσεις της ανακάλυψης

Επί του παρόντος, είναι γνωστό ότι, στον τοπικό χώρο, και οι δύο γεωμετρίες δίνουν κατά προσέγγιση αποτελέσματα. Οι διαφορές εμφανίζονται όταν ο φυσικός χώρος περιγράφεται με τη μία ή την άλλη γεωμετρία, λαμβάνοντας υπόψη μεγάλες αποστάσεις. Αν και συνεχίζουμε να χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια γεωμετρία, καθώς είναι αυτή που περιγράφει πιο απλά τον χώρο μας σε τοπική κλίμακα, η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών ήταν καθοριστικός στο βαθμό που σήμαινε ριζικό μετασχηματισμό της κατανόησης των αληθειών επιστημονικός.

Μέχρι τότε, η Ευκλείδεια γεωμετρία πιστευόταν ότι περιγράφει πραγματικά το διάστημα. Κατά την απόδειξη της δυνατότητας περιγραφής του μέσω μιας άλλης γεωμετρίας, με άλλα αξιώματα, ήταν απαραίτητο να επανεξεταστούν τα κριτήρια βάσει των οποίων ήταν δυνατόν να υποθέσουμε τη μία ή την άλλη εξήγηση όπως "αληθής”.

Βιβλιογραφία

ΜΑΡΤΙΝΕΖ ΛΟΡΚΑ, Α. (1980) «Η ηθική του Σωκράτη και η επιρροή τους στο σκέψη Occidental», στο Revista Baética: Estudios de Arte, Γεωγραφία and History, 3, 317-334. Πανεπιστήμιο της Μάλαγα.

Θέματα στη Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία