Τι είναι οι Εξισώσεις Maxwell και πώς ορίζονται;

Άγγελος Ζαμόρα Ραμίρεζ | Ιούλ. 2022
Πτυχίο φυσικής

Πριν από αυτές τις εξισώσεις, ειπώθηκε ότι οι ηλεκτρικές και μαγνητικές δυνάμεις ήταν «δυνάμεις σε απόσταση», δεν ήταν γνωστό κανένα φυσικό μέσο μέσω του οποίου θα συνέβαινε αυτός ο τύπος αλληλεπίδρασης. Μετά από πολλά χρόνια έρευνας για ηλεκτρική ενέργεια Υ μαγνητισμός, ο Michael Faraday διαίσθησε ότι θα έπρεπε να υπάρχει κάτι φυσικό στο χώρο μεταξύ των φορτίων και των ηλεκτρικών ρευμάτων που θα τους επέτρεπε να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και να εκδηλώνουν όλα τα ηλεκτρικά και μαγνητικά φαινόμενα που ήταν γνωστά, αρχικά τα ανέφερε ως «γραμμές δύναμης», που οδήγησαν στην ιδέα της ύπαρξης ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.

Βασιζόμενος στην ιδέα του Faraday, ο James Clerk Maxwell αναπτύσσει μια θεωρία πεδίου που αντιπροσωπεύεται από τέσσερις μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ο Maxwell αναφέρθηκε σε αυτό ως «ηλεκτρομαγνητική θεωρία» και ήταν ο πρώτος που ενσωμάτωσε αυτόν τον τύπο μαθηματικής γλώσσας σε μια φυσική θεωρία. Οι εξισώσεις του Maxwell στη διαφορική τους μορφή για το κενό (δηλαδή, απουσία διηλεκτρικών ή/και πολωτικών υλικών) είναι οι εξής:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Οι εξισώσεις του Maxwell για το κενό στη διαφορική του μορφή

Όπου \(\vec{E}~\)είναι το ηλεκτρικό πεδίο, \(\vec{B}~\)είναι το μαγνητικό πεδίο, \(\rho ~\)είναι η πυκνότητα του ηλεκτρικό φορτίο, \(\vec{J}~~\)είναι ένα διάνυσμα που σχετίζεται με το a ηλεκτρικό ρεύμα, \({{\epsilon }_{0}}~\)είναι η ηλεκτρική διαπερατότητα ενός κενού και \({{\mu }_{0}}~~\)είναι η μαγνητική διαπερατότητα ενός κενού. Κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις αντιστοιχεί σε α νόμος του ηλεκτρομαγνητισμού και έχει νόημα. Θα εξηγήσω εν συντομία το καθένα από αυτά παρακάτω.

ο νόμος του Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Ο νόμος του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο

Αυτό που μας λέει αυτή η πρώτη εξίσωση είναι ότι τα ηλεκτρικά φορτία είναι οι πηγές του ηλεκτρικού πεδίου, αυτό το ηλεκτρικό πεδίο «αποκλίνει» απευθείας από τα φορτία. Επιπλέον, η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου υπαγορεύεται από το πρόσημο του ηλεκτρικού φορτίου που το παράγει και το πόσο κοντά είναι οι γραμμές πεδίου δείχνει το μέγεθος του ίδιου του πεδίου. Η παρακάτω εικόνα συνοψίζει κάπως αυτό που μόλις αναφέρθηκε.

Εικόνα 1. From Studiowork.- Διάγραμμα των ηλεκτρικών πεδίων που δημιουργούνται από δύο σημειακά φορτία, ένα θετικό και ένα αρνητικό.

Αυτός ο νόμος οφείλει το όνομά του στον μαθηματικό Johann Carl Friedrich Gauss που τον διατύπωσε με βάση το θεώρημα της απόκλισης.

Ο νόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Ο νόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο

Αυτός ο νόμος δεν έχει συγκεκριμένο όνομα, αλλά ονομάζεται έτσι λόγω της ομοιότητάς του με την προηγούμενη εξίσωση. Το νόημα αυτής της έκφρασης είναι ότι δεν υπάρχει «μαγνητικό φορτίο» ανάλογο με το «ηλεκτρικό φορτίο», δηλαδή δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα που είναι η πηγή του μαγνητικού πεδίου. Αυτός είναι ο λόγος που αν σπάσουμε έναν μαγνήτη στη μέση θα έχουμε ακόμα δύο παρόμοιους μαγνήτες, τόσο με βόρειο όσο και με νότιο πόλο.

Νόμος του Φαραντέι

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Ο νόμος της επαγωγής του Faraday

Αυτός είναι ο περίφημος νόμος της επαγωγής που διατύπωσε ο Faraday όταν το 1831 ανακάλυψε ότι τα μεταβαλλόμενα μαγνητικά πεδία ήταν ικανά να επάγουν ηλεκτρικά ρεύματα. Αυτό που σημαίνει αυτή η εξίσωση είναι ότι ένα μαγνητικό πεδίο που αλλάζει με το χρόνο είναι ικανό να επάγει γύρω του ένα ηλεκτρικό πεδίο, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να προκαλέσει την κίνηση ηλεκτρικών φορτίων και να δημιουργήσει α ρεύμα. Αν και αυτό μπορεί να ακούγεται πολύ αφηρημένο στην αρχή, ο νόμος του Faraday βρίσκεται πίσω από τη λειτουργία των κινητήρων, των ηλεκτρικών κιθάρων και των επαγωγικών εστιών.

Νόμος Ampère–Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Το πρώτο πράγμα που μας λέει αυτή η εξίσωση είναι ότι τα ηλεκτρικά ρεύματα δημιουργούν μαγνητικά πεδία γύρω από την κατεύθυνση του ρεύματος και ότι το μέγεθος του παραγόμενου μαγνητικού πεδίου εξαρτάται από το μέγεθος αυτού, αυτό παρατήρησε ο Oersted και ότι αργότερα ο Ampère μπόρεσε να διατυπώ. Ωστόσο, υπάρχει κάτι περίεργο πίσω από αυτή την εξίσωση, και αυτό είναι ότι ο δεύτερος όρος στο πλάι νόμος της εξίσωσης εισήχθη από τον Maxwell επειδή αυτή η έκφραση ήταν αρχικά ασυνεπής με τα άλλα, ειδικότερα, οδήγησε σε παραβίαση του νόμου διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Για να αποφευχθεί αυτό, ο Maxwell εισήγαγε απλώς αυτόν τον δεύτερο όρο, έτσι ώστε ολόκληρη η θεωρία του να είναι συνεπής, αυτός ο όρος έλαβε το όνομα «ρεύμα μετατόπισης» και εκείνη την εποχή δεν υπήρχαν πειραματικά στοιχεία που να το υποστηρίζουν. θα δημιουργήσει αντίγραφα ασφαλείας

Εικονογράφηση 2. De Rumruay.- Ένα ηλεκτρικό ρεύμα που ρέει μέσα από ένα καλώδιο δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο γύρω από αυτό σύμφωνα με το νόμο του Ampère.

Η έννοια του ρεύματος μετατόπισης είναι ότι, με τον ίδιο τρόπο που ένα μαγνητικό πεδίο μεταβλητή προκαλεί ένα ηλεκτρικό πεδίο, ένα ηλεκτρικό πεδίο που αλλάζει με το χρόνο είναι ικανό να δημιουργήσει ένα πεδίο μαγνητικός. Η πρώτη πειραματική επιβεβαίωση του ρεύματος μετατόπισης ήταν η απόδειξη της ύπαρξης του ηλεκτρομαγνητικά κύματα από τον Heinrich Hertz το 1887, περισσότερα από 20 χρόνια μετά τη δημοσίευση της θεωρίας του Μάξγουελ. Ωστόσο, η πρώτη άμεση μέτρηση του ρεύματος μετατόπισης έγινε από τον M. R. Van Cauwenberghe το 1929.

το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα

Μία από τις πρώτες συγκλονιστικές προβλέψεις που έγιναν από τις εξισώσεις του Maxwell είναι η ύπαρξη του ηλεκτρομαγνητικά κύματα, αλλά όχι μόνο αυτό, αποκάλυψαν επίσης ότι το φως έπρεπε να είναι ένα κύμα αυτού Τύπος. Για να το δούμε αυτό κάπως θα παίξουμε με τις εξισώσεις του Maxwell, αλλά πριν από αυτό, εδώ είναι η μορφή οποιασδήποτε εξίσωσης κυμάτων:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Γενική μορφή κυματικής εξίσωσης σε τρεις διαστάσεις.

Όπου \({{\nabla }^{2}}\) είναι ο Λαπλασιανός τελεστής, \(u\) είναι μια κυματική συνάρτηση και \(v\) είναι η ταχύτητα του κύματος. Θα δουλέψουμε επίσης με τις εξισώσεις του Maxwell σε κενό χώρο, δηλαδή, απουσία ηλεκτρικών φορτίων και ηλεκτρικών ρευμάτων, μόνο ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Και θα χρησιμοποιήσουμε επίσης το παρακάτω Ταυτότητα διανυσματικός λογισμός:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Εάν εφαρμόσουμε αυτήν την ταυτότητα σε ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Maxwell για τον κενό χώρο παραπάνω, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\μερική {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Σημειώστε την ομοιότητα αυτών των εξισώσεων με την κυματική εξίσωση παραπάνω, in συμπέρασμα, τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μπορούν να συμπεριφέρονται σαν κύματα (ηλεκτρομαγνητικά κύματα). Αν ορίσουμε την ταχύτητα αυτών των κυμάτων ως \(c\) και συγκρίνουμε αυτές τις εξισώσεις με την παραπάνω κυματική εξίσωση, μπορούμε να πούμε ότι η ταχύτητα είναι:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) και \({{\epsilon }_{0}}\) είναι η μαγνητική διαπερατότητα και η ηλεκτρική διαπερατότητα του κενού, αντίστοιχα, και οι δύο είναι σταθερές καθολικά των οποίων οι τιμές είναι \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) και \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\φορές {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές, έχουμε ότι η τιμή του \(c\) είναι \(c=299,792,458\frac{m}{s}\περίπου 300.000~km/s\) που είναι ακριβώς η ταχύτητα του φως.

Με αυτή τη μικρή ανάλυση μπορούμε να βγάλουμε τρία πολύ σημαντικά συμπεράσματα:

1) Τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μπορούν να συμπεριφέρονται σαν κύματα, δηλαδή υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα που είναι επίσης ικανά να διαδοθούν μέσω του κενού.

2) Το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα του οποίου η ταχύτητα εξαρτάται από τη μαγνητική διαπερατότητα και τη διαπερατότητα του μέσου μέσω του οποίου διαδίδεται, στον κενό χώρο το φως έχει ταχύτητα περίπου 300.000 km/s.

3) Εφόσον η μαγνητική διαπερατότητα και η ηλεκτρική διαπερατότητα είναι καθολικές σταθερές, τότε η Η ταχύτητα του φωτός είναι επίσης μια καθολική σταθερά, αλλά αυτό σημαίνει επίσης ότι η τιμή της δεν εξαρτάται του δομή από το οποίο μετριέται.

Αυτή η τελευταία δήλωση ήταν ιδιαίτερα αμφιλεγόμενη εκείνη την εποχή.Πώς είναι δυνατόν η ταχύτητα του το φως είναι το ίδιο ανεξάρτητα από την κίνηση του ατόμου που το μετράει και την κίνηση της φωτεινής πηγής. φως? Η ταχύτητα του κάτι πρέπει να είναι σχετική, σωστά; Λοιπόν, αυτό ήταν ένα ορόσημο για τη φυσική της εποχής και αυτό το απλό αλλά βαθύ γεγονός οδήγησε στην ανάπτυξη της Θεωρίας της Ειδικής Σχετικότητας από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν το 1905.