Τι είναι η Ιεραρχία των Επιχειρήσεων;

Η ιεραρχία των πράξεων είναι μια μαθηματική σύμβαση που καθορίζει τη σειρά με την οποία οι συνδυασμένες ενέργειες υπολογισμού πρέπει να εκτελούνται σε την ίδια μαθηματική πρόταση, δηλαδή όταν υπάρχει μια μαθηματική πρόταση όπου υπάρχουν μαθηματικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, δυνάμεις και ρίζες) σε συνδυασμό, αυτά πρέπει να γίνουν με συγκεκριμένη σειρά για να καταλήξουμε σε ένα αποτέλεσμα κοινός.

Γιατί όμως χρειάζεται μια ιεραρχία; Για να το απαντήσουμε, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε καλά τη φύση των μαθηματικών πράξεων, η οποία αποτελείται από έναν μετασχηματισμό που εφαρμόζεται στα στοιχεία ενός συνόλου. Ας σκεφτούμε, για παράδειγμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή αυτούς τους αριθμούς που όλοι γνωρίζουμε. Αν πάρουμε έναν αριθμό α και τον προσθέσουμε με έναν άλλο αριθμό b θα πάρουμε έναν άλλο αριθμό c που ανήκει στο ίδιο σύνολο πραγματικών αριθμών, δηλαδή:

α+β = γ

Επιπλέον, η σειρά με την οποία παρουσιάζονται οι προσθήκες δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή αυτό

α+β = β+α, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται commutativity. Είναι σημαντικό να μιλάμε για πρόσθεση γιατί είναι η βασική πράξη από την οποία προέρχονται όλες οι άλλες. Ένας πολλαπλασιασμός δεν είναι τίποτα άλλο από μια σειρά επαναλαμβανόμενων προσθηκών. Αν έχουμε ξανά έναν αριθμό α και τον πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό b, αυτό που κάνουμε είναι μερικές φορές να προσθέτουμε τον αριθμό b με τον εαυτό του ή, εναλλακτικά, να προσθέτουμε b επί τον αριθμό a με τον εαυτό του. Το τελευταίο ισχύει επειδή ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικός όπως η πρόσθεση, αυτό σημαίνει ότι: a⋅b = b⋅a. Τα προαναφερθέντα μπορούν να εκφραστούν ως εξής:

Μπορούμε εύκολα να το οπτικοποιήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Ας κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Τώρα, τι γίνεται αν πρέπει να εκτελέσουμε μια πράξη όπου έχουμε συνδυάσει την πρόσθεση με τον πολλαπλασιασμό; Για παράδειγμα: a⋅b+c. Ποια είναι η σειρά με την οποία πρέπει να γίνει η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός; Σε ποια επέμβαση πρέπει να προτιμήσουμε; Αν εκτελέσουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και τον αναπτύξουμε ως άθροισμα θα έχουμε:

Τώρα, αν πραγματοποιούσαμε πρώτα την πρόσθεση και μετά τον πολλαπλασιασμό θα παίρναμε:

Δεδομένου ότι η πρόσθεση είναι ανταλλάξιμη, μπορούμε να ανασυγκροτήσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης για να πάρουμε:

Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν και στις δύο περιπτώσεις, είναι εύκολο να αντιληφθεί κανείς ότι:

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η σειρά με την οποία αποφασίζεται να πραγματοποιηθούν οι πράξεις επηρεάζει το αποτέλεσμα που προκύπτει. Το ίδιο συμβαίνει όταν εμπλέκουμε εξουσίες. Όταν ανεβάζουμε έναν αριθμό b σε δύναμη c, αυτό που κάνουμε είναι να πολλαπλασιάσουμε c επί τον αριθμό b με τον εαυτό του, δηλαδή:

Τώρα προχωράμε στην εκτέλεση της ακόλουθης συνδυασμένης πράξης που περιλαμβάνει πολλαπλασιασμό και δύναμη a⋅b^ντο με διαφορετική σειρά όπως κάναμε στην προηγούμενη περίπτωση. Αν πρώτα δώσουμε προτεραιότητα στην εξουσία έχουμε:

Τώρα, αν εκτελέσουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και μετά τη δύναμη, θα είχαμε:

Εκμεταλλευόμενοι την ανταλλαξιμότητα του πολλαπλασιασμού μπορούμε να ανασυγκροτήσουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης ως:

Και πάλι, μπορούμε να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται εκτελώντας τις πράξεις με διαφορετική σειρά για να συνειδητοποιήσουμε ότι:

Επίσης σε αυτή την περίπτωση η σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις επηρεάζει το αποτέλεσμα που προκύπτει. Λοιπόν, ποια είναι η σειρά με την οποία πρέπει να γίνουν οι επεμβάσεις; Η ιεραρχία των πράξεων καθορίζει ότι οι δυνάμεις βρίσκονται σε υψηλότερο επίπεδο ιεραρχίας από τους πολλαπλασιασμούς, με τέτοιο τρόπο ώστε οι δυνάμεις να έχουν προτεραιότητα σε μια μαθηματική πρόταση. Με τη σειρά τους, οι πολλαπλασιασμοί έχουν υψηλότερο επίπεδο ιεραρχίας από τις προσθέσεις.

Τι γίνεται όμως με την αφαίρεση, τη διαίρεση και τις ρίζες; Η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης, όταν αφαιρέσουμε έναν αριθμό b από έναν αριθμό a παίρνουμε έναν άλλο αριθμό c τέτοιο ώστε c+b=a. Κάτι παρόμοιο συμβαίνει με τη διαίρεση και την αφαίρεση. Αν διαιρέσουμε έναν αριθμό a με έναν αριθμό b και έχουμε ως αποτέλεσμα έναν αριθμό c, έχουμε βρει έναν αριθμό τέτοιο ώστε b⋅c=a. Και τέλος, υπολογίζοντας τη ρίζα b ενός αριθμού α βρίσκουμε έναν αριθμό c τέτοιο ώστε c^σι=α. Αυτές οι ισοδυναμίες βάζουν την αφαίρεση, τη διαίρεση και τη ρίζα στο ίδιο επίπεδο ιεραρχίας με την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ισχύ, αντίστοιχα.

Πρακτικές παρενθέσεων και παρενθέσεων

Τώρα, τι συμβαίνει αν θέλουμε να δώσουμε προτεραιότητα σε ορισμένες πράξεις σε μια μαθηματική πρόταση ανεξάρτητα από το επίπεδο ιεραρχίας τους; Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούνται παρενθέσεις και αγκύλες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη δήλωση της αρχής a⋅b+c. Με αυτά που είπαμε πριν ξέρουμε ήδη ότι πρέπει να κάνουμε πρώτα τον πολλαπλασιασμό και μετά την πρόσθεση. Τι θα γινόταν όμως αν θέλαμε να μην συμβεί αυτό; Για να γίνει αυτό, θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε παρενθέσεις ή αγκύλες για να διαχωρίσουμε την πρόσθεση από τον πολλαπλασιασμό και έτσι να δώσουμε προτεραιότητα στον υπολογισμό της πρόσθεσης πρώτα, δηλαδή: a⋅(b+c). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι δηλώσεις που χωρίζονται με παρένθεση και αγκύλες να έχουν την υψηλότερη προτεραιότητα σε σχέση με όλες τις άλλες πράξεις.

Με όλα όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, η ιεραρχία των λειτουργιών ή η σειρά με την οποία πρέπει να εκτελεστούν είναι η εξής:

1) Παρενθέσεις και αγκύλες
2) Δυνάμεις και ρίζες
3) Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις
4) Πρόσθεση και αφαίρεση

βιβλιογραφικές αναφορές

η. Μπένκε, Φ. Μπάχμαν, Κ. Fladt, W. Σους, Χ. Γκέρικε, Φ. Χόενμπεργκ, Γ. Πίκερτ, Χ. Rau & S. η. Γκουλντ. (1983). Βασικές αρχές Μαθηματικών: Τόμος Ι. Κέιμπριτζ, Μασαχουσέτη και Λονδίνο: The MIT Press.