Ορισμός γεωμετρικής προόδου

Μια ακολουθία αριθμών \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος εάν, ξεκινώντας από το δεύτερο, κάθε στοιχείο προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του προηγούμενου με έναν αριθμό \(r\ne 0\), δηλαδή εάν:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Οπου:
- Ο αριθμός \(r\) ονομάζεται λόγος της γεωμετρικής προόδου.
- Το στοιχείο \({{a}_{1}}\) ονομάζεται πρώτο στοιχείο της αριθμητικής προόδου.

Τα στοιχεία της γεωμετρικής προόδου μπορούν να εκφραστούν με βάση το πρώτο στοιχείο και την αναλογία του, δηλαδή:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Είναι τα πρώτα τέσσερα στοιχεία της αριθμητικής προόδου. Γενικά, το στοιχείο \(k-\)th εκφράζεται ως εξής:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Όταν \({{a}_{1}}\ne 0,~\)της προηγούμενης παράστασης λαμβάνουμε:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Η παραπάνω έκφραση είναι ισοδύναμη με:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Παράδειγμα/άσκηση 1. Βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​και βρείτε τα στοιχεία \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Λύση

Εφόσον \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αναλογία είναι:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\αριστερά( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \δεξιά)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\αριστερά( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \δεξιά)}^{90}}\)

Παράδειγμα/άσκηση 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), προσδιορίζουμε την αναλογία της γεωμετρικής προόδου και γράφουμε τα πρώτα 5 στοιχεία.

Λύση

Κουραστικός

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Να βρείτε τα πρώτα 5 στοιχεία της αριθμητικής προόδου. θα υπολογίσουμε το \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\αριστερά( -4 \δεξιά)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Τα πρώτα 5 στοιχεία της γεωμετρικής προόδου είναι:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \δεξιά)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Παράδειγμα/άσκηση 3. Ένα λεπτό ποτήρι απορροφά το 2% του ηλιακού φωτός που περνά μέσα από αυτό.

προς την. Τι ποσοστό φωτός θα περάσει από 10 από αυτά τα λεπτά γυαλιά;

σι. Τι ποσοστό φωτός θα περάσει από 20 από αυτά τα λεπτά γυαλιά;

ντο. Προσδιορίστε το ποσοστό του φωτός που διέρχεται από \(n\) λεπτά γυαλιά με τα ίδια χαρακτηριστικά, τοποθετημένα διαδοχικά.

Λύση

Θα αντιπροσωπεύσουμε με 1 το συνολικό φως. απορροφώντας το 2% του φωτός, τότε το 98% του φωτός περνά μέσα από το γυαλί.

Θα αναπαραστήσουμε με \({{a}_{n}}\) το ποσοστό του φωτός που διέρχεται από το γυαλί \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\αριστερά( 0,98 \δεξιά),~{{a}_{3}}={{\αριστερά( 0,98 \δεξιά)}^{2}}\αριστερά( 0,98 \δεξιά),\)

Γενικά \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

προς την. \({{a}_{10}}={{\αριστερά( 0,98 \δεξιά)}^{10}}=0,81707\); που μας λέει ότι μετά το γυαλί 10 διέρχεται το 81,707% του φωτός

σι. \({{a}_{20}}={{\αριστερά( 0,98 \δεξιά)}^{20}}=~0,66761\); που μας λέει ότι μετά το γυαλί 20 περνάει το 66,761%

Το άθροισμα των πρώτων \(n\) στοιχείων μιας γεωμετρικής προόδου

Δεδομένης της γεωμετρικής προόδου \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Όταν \(r\ne 1\) είναι το άθροισμα των πρώτων \(n\) στοιχείων, το άθροισμα:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\lddots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Μπορεί να υπολογιστεί με

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Παράδειγμα/άσκηση 4. Από το παράδειγμα 2 υπολογίστε το \({{S}_{33}}\).

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) και \(r=-4\)

εφαρμόζοντας

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\αριστερά( -4 \δεξιά)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Παράδειγμα/άσκηση 5. Ας υποθέσουμε ότι ένα άτομο ανεβάζει μια φωτογραφία του κατοικίδιου ζώου του και τη μοιράζεται με 3 φίλους του σε ένα κοινωνικό δίκτυο στο Διαδίκτυο και σε μία ώρα ο καθένας αυτοί, μοιράζονται τη φωτογραφία με άλλα τρία άτομα και στη συνέχεια οι τελευταίοι, σε μία ακόμη ώρα, ο καθένας τους μοιράζεται τη φωτογραφία με άλλους 3 Ανθρωποι; Και έτσι συνεχίζεται. Κάθε άτομο που λαμβάνει τη φωτογραφία τη μοιράζεται με άλλα 3 άτομα μέσα σε μία ώρα. Σε 15 ώρες, πόσα άτομα έχουν ήδη τη φωτογραφία;

Λύση

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους πρώτους υπολογισμούς
Χρόνος Άνθρωποι που λαμβάνουν τη φωτογραφία Άνθρωποι που έχουν τη φωτογραφία
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Ο αριθμός των ατόμων που λαμβάνουν τη φωτογραφία σε ώρα \(n\) είναι ίσος με: \({{3}^{n}}\)

Ο αριθμός των ατόμων που έχουν ήδη τη φωτογραφία την ώρα είναι ίσος με:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lddots +{{3}^{n}}\)

εφαρμόζοντας

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Με \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) και \(n=15\)

Διά του οποίου:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

γεωμετρικά μέσα

Δίνονται δύο αριθμοί \(a~\) και \(b,\) οι αριθμοί \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) ονομάζονται \(k\) γεωμετρικά μέσα των αριθμών \(a~\) και \(b\); αν η ακολουθία \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) είναι μια γεωμετρική πρόοδος.

Για να γνωρίζουμε τις τιμές των γεωμετρικών μέσων \(k\) των αριθμών \(a~\) και \(b\), αρκεί να γνωρίζουμε τον λόγο της αριθμητικής προόδου, για αυτό πρέπει να ληφθούν υπόψη τα εξής:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Από τα παραπάνω καθιερώνουμε τη σχέση:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Λύνοντας για \(d\), παίρνουμε:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Παράδειγμα/άσκηση 6. Βρείτε 2 γεωμετρικά μέσα μεταξύ των αριθμών -15 και 1875.

Λύση

Κατά την υποβολή αίτησης

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

με \(b=375,~a=-15\) και \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Τα 3 γεωμετρικά μέσα είναι:

\(75,-375\)

Παράδειγμα/άσκηση 7. Ένα άτομο επένδυε χρήματα και λάμβανε τόκους κάθε μήνα για 6 μήνες και το κεφάλαιό του αυξήθηκε κατά 10%. Αν υποθέσουμε ότι το επιτόκιο δεν άλλαξε, ποιο ήταν το μηνιαίο επιτόκιο;

Λύση

Έστω \(C\) το επενδυμένο κεφάλαιο. το τελικό κεφάλαιο είναι \(1.1C\); Για να λύσουμε το πρόβλημα πρέπει να τοποθετήσουμε 5 γεωμετρικά μέσα, εφαρμόζοντας τον τύπο:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Με \(k=5,~b=1,1C\) και \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Το μηνιαίο επιτόκιο που ελήφθη ήταν \(1,6%\)