Ορισμός Μικτών, Μονάδων, Ομοιογενών και Ετερογενών Κλασμάτων

Μικτός. Ένα μικτό κλάσμα αποτελείται από έναν ακέραιο αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο με ένα και ένα σωστό κλάσμα, τη γενική ορθογραφία ενός κλάσματος μικτή είναι της μορφής: \(a + \frac{c}{d},\) της οποίας η συμπαγής γραφή είναι: \(a\frac{c}{d},\;\), δηλαδή: \(a\ κλάσμα{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Ο αριθμός \(a\) ονομάζεται ακέραιο μέρος του μικτού κλάσματος και \(\frac{c}{d}\) ονομάζεται κλασματικό μέρος του.

ομοιογενής. Εάν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, λέγονται ότι είναι σαν κλάσματα. Για παράδειγμα, τα κλάσματα \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) είναι ομοιογενή επειδή όλα έχουν τον ίδιο παρονομαστή, ο οποίος σε αυτήν την περίπτωση είναι \(4\). Ενώ τα κλάσματα \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) δεν είναι ομοιογενή κλάσματα αφού ο παρονομαστής του \(\frac{5}{2}\) είναι \(2\) και ο παρονομαστής των άλλων κλασμάτων είναι \(4\). Ένα από τα πλεονεκτήματα των ομοιογενών κλασμάτων είναι ότι οι αριθμητικές πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης συναρτήσεων είναι πολύ απλές.

ετερογενής. Εάν δύο ή περισσότερα κλάσματα, τουλάχιστον δύο από αυτά δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τότε αυτά τα κλάσματα λέγονται ετερογενή κλάσματα. Τα ακόλουθα κλάσματα είναι ετερογενή: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

ενιαία. Ένα κλάσμα προσδιορίζεται ως μονάδα εάν ο αριθμητής είναι ίσος με 1 \(1,\) \(2\). Τα ακόλουθα κλάσματα είναι παραδείγματα μοναδιαίων κλασμάτων: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Λεκτική έκφραση μικτού κλάσματος

μικτό κλάσμα	Λεκτική έκφραση
\(3\frac{1}{2} = \)	Τρεισήμισι ολόκληρο
\(5\frac{3}{4} = \)	Πέντε ακέραιοι και τρία τέταρτα
\(10\frac{1}{8} = \)	Δέκα ακέραιοι με έναν όγδοο

Μετατροπή μικτού κλάσματος σε ακατάλληλο κλάσμα

Τα μικτά κλάσματα είναι χρήσιμα για την εκτίμηση, για παράδειγμα, είναι εύκολο να καθοριστεί:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Ωστόσο, τα μικτά κλάσματα είναι συνήθως μη πρακτικά για την εκτέλεση πράξεων όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση, γι' αυτό είναι σημαντικό να γίνεται η μετατροπή σε μικτό κλάσμα.

Το προηγούμενο σχήμα αντιπροσωπεύει το μικτό κλάσμα \(2\frac{3}{4}\), τώρα κάθε ακέραιος αποτελείται από τέσσερα τέταρτα, άρα σε 2 ακέραιους αριθμούς υπάρχουν 8 τέταρτα και σε αυτά πρέπει να προσθέσουμε τα άλλα 3 τέταρτα, δηλαδή λένε:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Γενικά:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει άλλα παραδείγματα.

μικτό κλάσμα	Λειτουργίες προς εκτέλεση	ακατάλληλο κλάσμα
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\αριστερά( 2 \δεξιά) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\αριστερά( 4 \δεξιά) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\αριστερά( 8 \δεξιά) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό κλάσμα

Για να μετατρέψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό κλάσμα, υπολογίστε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμητή με τον παρονομαστή. Το πηλίκο που προκύπτει θα είναι το ακέραιο μέρος του μικτού κλάσματος και το σωστό κλάσμα θα είναι \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{παρονομαστής}}}}\)

Παράδειγμα

Για να μετατρέψετε το \(\frac{{25}}{7}\) σε μικτό κλάσμα:

Για τις εργασίες που πραγματοποιήθηκαν λαμβάνουμε:

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει άλλα παραδείγματα.

ακατάλληλο κλάσμα	Υπολογισμός του πηλίκου και του υπολοίπου	ακατάλληλο κλάσμα
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Καθημερινή χρήση μικτών και σωστών κλασμάτων

Στην καθημερινή ζωή πρέπει να μετράμε, να αγοράζουμε, να συγκρίνουμε τιμές, να προσφέρουμε εκπτώσεις. για να μετρήσουμε χρειαζόμαστε μονάδες μέτρησης και δεν προσφέρουν πάντα ολόκληρες μονάδες των προϊόντων και δεν πληρώνετε πάντα με ολόκληρη την ποσότητα κερμάτων μιας μονάδας.

Για παράδειγμα, είναι σύνηθες για ορισμένα υγρά να πωλούνται σε δοχεία των οποίων το περιεχόμενο είναι \(\frac{3}{4}\;\) ενός λίτρου, μισού γαλονιού ή ενάμισι γαλονιού. Ίσως όταν πας να αγοράσεις ένα σωλήνα να ζητήσεις \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) και δεν χρειάζεται να πείτε τη μονάδα μέτρησης, που σε αυτήν την περίπτωση είναι η ίντσα.

Βασικές πράξεις ομοειδών κλασμάτων

Το άθροισμα των \(\frac{3}{4}\) και \(\frac{2}{4}\), δίνεται ως παράδειγμα στο ακόλουθο σχήμα:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Ενώ η αφαίρεση γίνεται ως εξής:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Γενικά, για ομοιογενή κλάσματα:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Οι Αιγύπτιοι και τα κλάσματα μονάδων

Η αιγυπτιακή κουλτούρα πέτυχε μια αξιοσημείωτη τεχνολογική ανάπτυξη και αυτό δεν θα είχε συμβεί χωρίς μια ανάπτυξη εφάμιλλη με τα μαθηματικά. Υπάρχουν ιστορικά απομεινάρια όπου μπορείτε να βρείτε αρχεία για τη χρήση των κλασμάτων στον αιγυπτιακό πολιτισμό, με μια ιδιαιτερότητα ότι χρησιμοποιούσαν μόνο ενιαία κλάσματα.

Υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις όπου η γραφή ενός κλάσματος ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων είναι τόσο απλή όσο

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Στην περίπτωση που \(n = 2q + 1\), δηλαδή περιττό, έχουμε ότι:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Θα το δείξουμε αυτό με δύο παραδείγματα.

Για έκφραση \(\frac{2}{{11}}\); Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε \(11 = 2\αριστερά( 5 \δεξιά) + 1\), επομένως:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

δηλαδή,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Για έκφραση \(\frac{2}{{17}}\); σε αυτήν την περίπτωση έχουμε \(17 = 2\αριστερά( 8 \δεξιά) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Στη συνέχεια, δείχνουμε μερικά κλάσματα ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων,

Κλάσμα	Έκφραση ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων	Κλάσμα	Έκφραση ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο πίνακα μπορούμε να προσθέσουμε κλάσματα και να εκφράσουμε τέτοια αθροίσματα. ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων.

Παραδείγματα Ετερογενών Κλασμάτων

Παράδειγμα 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \δεξιά) + \αριστερά ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \δεξιά)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Παράδειγμα 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \δεξιά) + \αριστερά ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \δεξιά)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Τέλος, μπορούμε να εκφράσουμε το ίδιο κλάσμα ως άθροισμα μοναδιαίων κλασμάτων με διαφορετικό τρόπο όπως:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)