Ορισμός της Αριθμητικής Προόδου

Μια ακολουθία αριθμών \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​ονομάζεται αριθμητική πρόοδος εάν η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών αριθμών είναι ίση με τον ίδιο αριθμό \(d\), δηλαδή ναι:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Ο αριθμός \(d\) ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου.

Το στοιχείο \({a_1}\) ονομάζεται το πρώτο στοιχείο της αριθμητικής ακολουθίας.

Τα στοιχεία της αριθμητικής προόδου μπορούν να εκφραστούν με βάση το πρώτο στοιχείο και τη διαφορά του, δηλαδή:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Είναι τα πρώτα τέσσερα στοιχεία της αριθμητικής προόδου. Γενικά, το στοιχείο \(k – \)th εκφράζεται ως εξής:

\({a_k} = {a_1} + \αριστερά( {k – 1} \δεξιά) d\)

Από την παραπάνω έκφραση παίρνουμε:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \αριστερά( {k – l} \δεξιά) d\)

Η παραπάνω έκφραση είναι ισοδύναμη με:

\({a_k} = {a_l} + \αριστερά( {k – l} \δεξιά) d\)

Παραδείγματα που εφαρμόζονται για αριθμητική πρόοδο

1. Βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​και βρείτε τα στοιχεία \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Λύση

Εφόσον \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η διαφορά είναι:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \αριστερά( {20 – 1} \δεξιά) d = 3 + 19\αριστερά( 5 \δεξιά) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \αριστερά( {99 – 1} \δεξιά) d = 3 + 98\αριστερά( 5 \δεξιά) = 493\)

2. Σε μια αριθμητική πρόοδο έχουμε: \({a_{17}} = 20\;\)και \({a_{29}} = – 130\), προσδιορίζουμε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου και γράφουμε τα πρώτα 5 στοιχεία.

Λύση

Κουραστικός

\({a_k} – {a_l} = \αριστερά( {k – l} \δεξιά) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \αριστερά( {29 – 17} \δεξιά) d\)

\( – 130 – 20 = \αριστερά( {12} \δεξιά) d\)

\( – 150 = \αριστερά( {12} \δεξιά) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Για να βρείτε τα πρώτα 5 στοιχεία. θα υπολογίσουμε το \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \αριστερά( {k – 1} \δεξιά) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \αριστερά( {17 – 1} \δεξιά)\αριστερά( { – \frac{{25}}{2}} \δεξιά)\)

\(20 = {a_1} + \αριστερά( {16} \δεξιά)\αριστερά( { – \frac{{25}}{2}} \δεξιά)\)

\(20 = {a_1} - 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Τα πρώτα 5 στοιχεία είναι:

\(220.220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Πολυγωνικοί αριθμοί και το άθροισμα των πρώτων \(n\) στοιχείων μιας αριθμητικής προόδου

τριγωνικούς αριθμούς

Οι τριγωνικοί αριθμοί \({T_n}\;\) σχηματίζονται από την αριθμητική πρόοδο: \(1,2,3,4 \ldots \); με τον εξής τρόπο.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

τετράγωνοι αριθμοί

Οι τετράγωνοι αριθμοί \({C_n}\;\) σχηματίζονται από την αριθμητική πρόοδο: \(1,3,5,7 \ldots \); ως εξής

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

πενταγωνικούς αριθμούς

Οι τετράγωνοι αριθμοί \({P_n}\;\) σχηματίζονται από την αριθμητική πρόοδο: \(1,3,5,7 \ldots \); ως εξής

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Στη συνέχεια, θα δείξουμε τον τύπο για να βρούμε το άθροισμα των πρώτων \(n\) στοιχείων μιας αριθμητικής προόδου.

Δεδομένης της αριθμητικής προόδου, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) ρε\). Για να υπολογίσετε το άθροισμα \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \δεξιά)}}{2}\)

που ισοδυναμεί με

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο, λαμβάνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των τριγωνικών, τετραγωνικών και πενταγωνικών αριθμών. που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

πολυγωνικό αριθμό	\({Α'1}\)	\(ρε\)	Τύπος
Τριγωνικό \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\αριστερά( {n + 1} \δεξιά)}}{2}\)
Τετράγωνο \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Πεντάγωνο \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\αριστερά( {3n – 1} \δεξιά)}}{2}\)

Παράδειγμα πολυγωνικών αριθμών

3. Από το παράδειγμα 2 υπολογίστε το \({S_{33}}\).

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση \({a_1} = 200\) και \(d = – \frac{{25}}{2}\)

εφαρμόζοντας

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\αριστερά( {400 + 16\αριστερά( { – 25} \δεξιά)} \δεξιά) = 17\αριστερά( 0 \δεξιά) = 0\)

αριθμητικά μέσα

Δίνονται δύο αριθμοί \(a\;\) και \(b,\) οι αριθμοί \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) ονομάζονται \(k\) σημαίνει αριθμητικοί αριθμοί \(a\;\) και \(b\); αν η ακολουθία \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Για να γνωρίζετε τις τιμές των αριθμητικών μέσων \(k\) των αριθμών \(a\;\) και \(b\), αρκεί να γνωρίζετε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου, για αυτό πρέπει να θεωρούνται:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = β,\)

Από τα παραπάνω καθιερώνουμε τη σχέση:

\(b = a + \αριστερά( {k + 2 – 1} \δεξιά) d\)

Λύνοντας για \(d\), παίρνουμε:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

παραδείγματα

4. Βρείτε 7 αριθμητικά μέσα μεταξύ των αριθμών -5 και 25.

Λύση

Κατά την υποβολή αίτησης

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

με \(b = 25,\;a = – 5\) και \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Τα 7 αριθμητικά μέσα είναι:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Ένα άτομο έδωσε 2.000 δολάρια ως προκαταβολή για να αγοράσει ένα ψυγείο και πλήρωσε τα υπόλοιπα με την πιστωτική του κάρτα για 18 μήνες χωρίς τόκο. Πρέπει να πληρώνει 550 δολάρια το μήνα για να ρυθμίσει το χρέος, το οποίο απέκτησε για να πληρώσει για το ψυγείο του.

προς την. Ποιο είναι το κόστος του ψυγείου;

σι. Εάν έχετε πληρώσει τους υπόλοιπους για 12 μήνες χωρίς τόκο, πόση θα ήταν η μηνιαία πληρωμή;

Λύση

προς την. Σε αυτήν την περίπτωση:

\({a_{19}} = 2000 + 18\αριστερά( {550} \δεξιά)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

σι. Μεταξύ των αριθμών 2000 και 11900 πρέπει να βρούμε 11 αριθμητικά μέσα, για τα οποία:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Με δεδομένη την ακολουθία \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) βρείτε τα ακόλουθα 3 στοιχεία και τη γενική έκφραση του στοιχείου \(n\).

Λύση

Η εν λόγω ακολουθία δεν είναι αριθμητική πρόοδος, αφού \(22 – 7 \ne 45 – 22\), αλλά μπορούμε να σχηματίσουμε μια ακολουθία με τις διαφορές δύο διαδοχικών στοιχείων και ο παρακάτω πίνακας δείχνει το Αποτελέσματα:

Στοιχεία της ακολουθίας \({b_n}\)	Ακολουθία \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Η τρίτη στήλη του παραπάνω πίνακα μας λέει ότι η ακολουθία \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); είναι μια αριθμητική ακολουθία της οποίας η διαφορά είναι \(d = 8\).

Στη συνέχεια, θα γράψουμε τα στοιχεία της ακολουθίας \({b_n}\) ως προς την ακολουθία \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Γενικά έχετε:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Κατά την υποβολή αίτησης

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Με τα \({c_1} = 7\) και \(d = 8,\) λαμβάνουμε:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\αριστερά( {7 + 4\αριστερά( {n – 1} \δεξιά)} \δεξιά)\)

\({b_n} = n\αριστερά( {4n + 3} \δεξιά)\)

Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)