Πώς ορίζεται το θεώρημα του Θαλή;

Από το Θεώρημα του Θαλή, δοθέντων πολλών παράλληλων ευθειών, η ευθεία \(T\) λέγεται ότι είναι εγκάρσια στις παράλληλες ευθείες εάν τέμνει κάθε μία από τις παράλληλες ευθείες.

Στο σχήμα 1, οι γραμμές \({T_1}\) και \({T_2}\) είναι εγκάρσιες προς τις παράλληλες γραμμές \({L_1}\) και \({L_2}.\)

Το θεώρημα του Θαλή (αδύναμη έκδοση)
Εάν πολλές παράλληλες προσδιορίζουν ομοιόμορφα τμήματα (που μετρούν το ίδιο) σε μία από τις δύο εγκάρσιες ευθείες τους, θα προσδιορίσουν επίσης ομοιόμορφα τμήματα στις άλλες εγκάρσιες γραμμές.

Στο σχήμα 2, οι μαύρες γραμμές είναι παράλληλες και πρέπει:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Μπορούμε να διασφαλίσουμε τα εξής:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Λέγεται ότι ο σοφός Θαλής της Μιλήτου μέτρησε το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα, για αυτό χρησιμοποίησε σκιές και την εφαρμογή ιδιοτήτων ομοιότητας τριγώνου. Το θεώρημα του Θαλή είναι θεμελιώδες για την ανάπτυξη της έννοιας της ομοιότητας των τριγώνων.

Αναλογίες και ιδιότητες αναλογιών

Ένας λόγος είναι το πηλίκο δύο αριθμών, με τον διαιρέτη να είναι διαφορετικός από το μηδέν. δηλαδή:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{με\;}}b \ne 0\)

Μια αναλογία είναι η ισότητα δύο αναλογιών, δηλαδή:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

Το \(k\) ονομάζεται επίσης σταθερά της αναλογικότητας.

Ιδιότητες αναλογιών

Αν \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) τότε για \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = κ\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

παραδείγματα

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Το ζεύγος των τμημάτων \(\overline {AB} \) και \(\overline {CD} \) λέγεται ότι είναι ανάλογο με τα τμήματα \(\overline {EF} \) και \(\overline {GH} \) εάν πληρούται η αναλογία:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Όπου \(AB\;\) υποδηλώνει το μήκος του τμήματος \(\overline {AB} .\)

Το θεώρημα του Θαλή

Επιστρέφοντας στον ορισμό, πολλές παράλληλες καθορίζουν αναλογικά αντίστοιχα τμήματα στις εγκάρσιες γραμμές τους.

Στο σχήμα 3, οι ευθείες είναι παράλληλες και μπορούμε να εξασφαλίσουμε:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Ας σημειώσουμε ότι οι δύο πρώτες προηγούμενες αναλογίες είναι ισοδύναμες με τις ακόλουθες αναλογίες:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Από τα παραπάνω παίρνουμε:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Σε πολλές περιπτώσεις είναι καλύτερο να εργάζεστε με τις προηγούμενες αναλογίες και σε αυτήν την περίπτωση:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Αντίστροφος του Θεωρήματος του Θαλή

Εάν πολλές ευθείες προσδιορίζουν ανάλογα αντίστοιχα τμήματα στις εγκάρσιες ευθείες τους, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες

Εάν στο σχήμα 4 πληρούται

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Τότε μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Ο συμβολισμός \({L_1}\parallel {L_2}\), read \({L_1}\) είναι παράλληλος στο \({L_2}\).

Από την προηγούμενη αναλογία παίρνουμε:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Διαίρεση ενός τμήματος σε πολλά μέρη ίσου μήκους

Μέσα από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα θα δείξουμε πώς να διαιρέσουμε ένα τμήμα σε μέρη ίσου μήκους.

Διαιρέστε το τμήμα \(\overline {AB} \) σε 7 τμήματα ίσου μήκους

Αρχική κατάσταση

Σχεδιάστε μια βοηθητική γραμμή που διέρχεται από ένα από τα άκρα του τμήματος

Με τη στήριξη μιας πυξίδας, σχεδιάζονται 7 τμήματα ίσου μήκους στη βοηθητική γραμμή

Σχεδιάστε τη γραμμή που ενώνει τα άκρα του τελευταίου τμήματος που σχεδιάστηκε και το άλλο άκρο του τμήματος που θα διαιρεθεί

Σχεδιάζονται παράλληλα με την τελευταία ευθεία που μόλις σχεδιάστηκε που διέρχεται από τα σημεία όπου τέμνονται τα τόξα της περιφέρειας με τη βοηθητική ευθεία.

Με δεδομένο ένα τμήμα \(\overline {AB} \), ένα σημείο \(P\) του τμήματος λέγεται ότι διαιρεί το τμήμα \(\overline {AB} \), με την αναλογία \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Διαίρεση τμήματος σε δεδομένη αναλογία

Δίνεται ένα τμήμα \(\overline {AB} \), και δύο θετικοί ακέραιοι \(a, b\); το σημείο \(P\) που διαιρεί το τμήμα με την αναλογία \(\frac{a}{b};\;\) μπορεί να βρεθεί ως εξής:

1. Διαιρέστε το τμήμα \(\overline {AB} \) σε τμήματα \(a + b\) ίσου μήκους.
2. Πάρτε τα τμήματα \(a\) που μετράνε από το σημείο \(A\).

παραδείγματα

Διαίρεση του τμήματος \(\overline {AB} \) στην αναλογία \(\frac{a}{b}\)

Λόγος	Αριθμός τμημάτων στα οποία χωρίζεται το τμήμα	Θέση του σημείου \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Εφαρμοσμένα παραδείγματα του Θεωρήματος του Θαλή

εφαρμογή 1: Τρεις παρτίδες εκτείνονται από την οδό Sol έως την οδό Luna, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.

Τα πλευρικά όρια είναι τμήματα κάθετα στην οδό Luna. Εάν η συνολική πρόσοψη των οικοπέδων στην οδό Sol είναι 120 μέτρα, προσδιορίστε την πρόσοψη κάθε οικοπέδου στον εν λόγω δρόμο, εάν είναι επίσης γνωστό:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Δήλωση προβλήματος

Εφόσον οι ευθείες είναι κάθετες στην οδό Luna, είναι παράλληλες μεταξύ τους, εφαρμόζοντας το Θεώρημα του Θαλή μπορούμε να επιβεβαιώσουμε:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Από τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Ομοίως μπορούμε να συμπεράνουμε:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Λύση

Για να προσδιορίσουμε τη σταθερά της αναλογικότητας \(k,\) θα χρησιμοποιήσουμε ιδιότητες αναλογιών:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Από τα παραπάνω παίρνουμε:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\αριστερά( {10} \δεξιά) = 12.\)

Ανάλογα:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Απάντηση

Τμήμα	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Μήκος	12μ	48μ	24μ	36μ

εφαρμογή 2: Ένας γραφίστας έχει σχεδιάσει ένα ράφι σε σχήμα παραλληλογράμμου και θα τοποθετήσει 3 ράφια όπως φαίνεται στο Εικόνα 6, τα σημεία E και F είναι τα μέσα των πλευρών \(\overline {AD} \) και \(\overline {BC} ,\) αντίστοιχα. Πρέπει να κάνετε κοψίματα στα ράφια για να μπορέσετε να κάνετε τις συναρμολογήσεις. Σε ποιο μέρος των ραφιών πρέπει να γίνουν τα κοψίματα;

Δήλωση του προβλήματος: Λόγω των συνθηκών που δίνονται στο πρόβλημα, πληρούνται τα ακόλουθα:

\(ED = EA = CF = BF\)

Ως βοηθητικές κατασκευές θα επεκτείνουμε τις πλευρές \(\overline {CB} \) και \(\overline {DA} \). Τραβιέται μια ευθεία από το σημείο Α έως το \(A\) και παράλληλη προς την πλευρά \(\overline {EB} \) και μέσω του σημείου \(C\;\) μια γραμμή παράλληλη προς την πλευρά \(\overline {DF} \).

Θα χρησιμοποιήσουμε το Αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή για να δείξουμε ότι τα τμήματα \(\overline {EB} \) και \(\overline {DF} \) είναι παράλληλα για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Thales.

Λύση

Κατασκευάζοντας το τετράπλευρο \(EAIB\) είναι παραλληλόγραμμο άρα έχουμε ότι EA=BI, αφού είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου. Τώρα:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Εφαρμόζοντας το αντίστροφο το αντίστροφο του θεωρήματος του Θαλή μπορούμε να συμπεράνουμε:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Λαμβάνοντας ως εγκάρσια τα τμήματα \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) και τα τμήματα BC και CI. όπως και:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Λαμβάνοντας το \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) και τα τμήματα \(\overline {AC} \) και \(\overline {EB} \) ως εγκάρσια θα έχουμε:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\αριστερά( {AG} \δεξιά)}} = \frac{1}{2}\)

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Απαντήσεις

Οι διαγώνιες τομές \(\overline {AC} \) πρέπει να γίνουν στα σημεία \(G\;\) και \(H\), έτσι ώστε:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Το ίδιο ισχύει για τα ράφια \(\overline {EB} \) και \(\overline {DF} \).