Ορισμός εξορθολογισμού ριζών (μαθηματικά)

Ο εξορθολογισμός των ριζών είναι μια μαθηματική διαδικασία που πραγματοποιείται όταν υπάρχει ένα πηλίκο με ρίζες ή ρίζες στον παρονομαστή. Με αυτόν τον τρόπο, οι μαθηματικές πράξεις μπορούν να διευκολυνθούν όπου εμπλέκονται πηλίκα με ρίζες και άλλους τύπους μαθηματικών αντικειμένων.

Τύποι πηλίκων με ρίζες

Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ορισμένους τύπους πηλίκων με ρίζες που μπορούν να εξορθολογιστούν. Ωστόσο, πριν μπείτε πλήρως στη διαδικασία εξορθολογισμού, πρέπει να θυμάστε μερικές σημαντικές έννοιες. Αρχικά, ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη έκφραση: \(\sqrt[m]{n}\). Αυτή είναι η ρίζα \(m\) του αριθμού \(n\), δηλαδή, το αποτέλεσμα της εν λόγω πράξης είναι ένας αριθμός τέτοιος που ανεβάζοντας τον στην ισχύ \(m\) μας δίνει τον αριθμό \(n\) ως αποτέλεσμα). Η ισχύς και η ρίζα είναι αντίστροφες πράξεις, με τέτοιο τρόπο ώστε: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Από την άλλη πλευρά, αξίζει να αναφέρουμε ότι το γινόμενο δύο ίσων ριζών ισούται με τη ρίζα του γινομένου, δηλαδή: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Αυτά τα δύο ακίνητα θα είναι οι καλύτεροι σύμμαχοί μας κατά τον εξορθολογισμό.

Ο πιο συνηθισμένος και απλός τύπος πηλίκου με ρίζα που μπορούμε να βρούμε είναι ο ακόλουθος:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Όπου \(a\), \(b\) και \(c\) μπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Η διαδικασία εξορθολογισμού σε αυτή την περίπτωση συνίσταται στην εύρεση ενός τρόπου για να ληφθεί στο πηλίκο η έκφραση \(\sqrt {{c^2}} = c\) για να απαλλαγούμε από τη ρίζα. Σε αυτήν την περίπτωση, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε με \(\sqrt c \) τόσο τον αριθμητή όσο και τον παρονομαστή:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Θυμούμενοι όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, γνωρίζουμε ότι \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Επομένως, τελικά παίρνουμε ότι:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Με αυτόν τον τρόπο έχουμε εκλογικεύσει την προηγούμενη έκφραση. Αυτή η έκφραση δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια συγκεκριμένη περίπτωση μιας γενικής έκφρασης που είναι η εξής:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Όπου \(a\), \(b\), \(c\) είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί και \(n\), \(m\) είναι θετικές δυνάμεις. Ο εξορθολογισμός αυτής της έκφρασης βασίζεται στην ίδια αρχή με την προηγούμενη, δηλαδή να λάβετε την έκφραση \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) στον παρονομαστή. Μπορούμε να το πετύχουμε πολλαπλασιάζοντας με \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) και τον αριθμητή και τον παρονομαστή:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Μπορούμε να αναπτύξουμε το γινόμενο των ριζών στον παρονομαστή ως εξής: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \δεξιά)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Επομένως, το εξορθολογισμένο πηλίκο παραμένει ως:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n - Μ}}}}\)

Ένας άλλος τύπος πηλίκου με ρίζες που μπορεί να εξορθολογιστεί είναι αυτός στον οποίο έχουμε ένα διώνυμο με τετραγωνικές ρίζες στον παρονομαστή:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Όπου \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) και \(e\;\) είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί. Το σύμβολο \( ± \) υποδεικνύει ότι το πρόσημο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Το δυώνυμο παρονομαστή μπορεί να έχει και τις δύο ρίζες ή μόνο μία, ωστόσο, χρησιμοποιούμε αυτήν την περίπτωση για να λάβουμε ένα γενικότερο αποτέλεσμα. Η κεντρική ιδέα για να πραγματοποιηθεί η διαδικασία εξορθολογισμού σε αυτή την περίπτωση είναι η ίδια όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις, μόνο αυτό σε αυτή την περίπτωση θα πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το συζυγές του διωνύμου που βρίσκεται στο παρονομαστής. Το συζυγές ενός διωνύμου είναι ένα διώνυμο που έχει τους ίδιους όρους, αλλά του οποίου το κεντρικό σύμβολο είναι αντίθετο από το αρχικό δυώνυμο. Για παράδειγμα, το συζυγές του διωνύμου \(ux + vy\) είναι \(ux – vy\). Τούτου λεχθέντος, έχουμε τότε:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Το σύμβολο \( \mp \) υποδεικνύει ότι το πρόσημο μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, αλλά πρέπει να είναι αντίθετο από το σύμβολο του παρονομαστή για να συζευχθούν τα διώνυμα. Αναπτύσσοντας τον πολλαπλασιασμό των διωνύμων του παρονομαστή προκύπτει ότι:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Τελικά παίρνουμε ότι:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Με αυτό έχουμε εκλογικεύσει το πηλίκο με το ριζικό. Αυτά τα πηλίκα με τις ρίζες είναι αυτά που μπορούν γενικά να εξορθολογιστούν. Στη συνέχεια, θα δούμε μερικά παραδείγματα εξορθολογισμού των ριζοσπαστών.

παραδείγματα

Ας δούμε μερικά παραδείγματα εξορθολογισμού με πηλίκα με ρίζες του τύπου που αναφέραμε παραπάνω. Πρώτα ας υποθέσουμε ότι έχουμε το ακόλουθο πηλίκο:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Σε αυτή την περίπτωση αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε το ακόλουθο πηλίκο με ρίζα:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε μια έκτη ρίζα κυβικής ισχύος. Στην προηγούμενη ενότητα αναφέραμε ότι αν έχουμε μια ρίζα της μορφής \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) στο παρονομαστής, μπορούμε να εκλογικεύσουμε το πηλίκο πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \(\sqrt[n]{{{c^{n -Μ}}}}\). Συγκρίνοντας αυτό με την περίπτωση που παρουσιάζεται εδώ, μπορούμε να συνειδητοποιήσουμε ότι \(n = 6\), \(c = 4\) και \(m = 3\), επομένως Επομένως, μπορούμε να εκλογικεύσουμε το προηγούμενο πηλίκο πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Τέλος, ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη συνάρτηση:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Όπως φαίνεται στην προηγούμενη ενότητα, για να εξορθολογίσετε αυτόν τον τύπο πηλίκου με ρίζες, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το συζυγές του παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση ο συζυγής του παρονομαστή θα ήταν \(x – \sqrt x \). Επομένως, η έκφραση θα ήταν η εξής:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Αναπτύσσοντας τον πολλαπλασιασμό των συζυγών διωνύμων του παρονομαστή, προκύπτει τελικά ότι:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

βιβλιογραφικές αναφορές

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Αριθμητική. Μεξικό: Εκπαίδευση Pearson.