Ορισμός της Κεντρομόλου Δύναμης

Η κεντρομόλος δύναμη είναι μια δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο που κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης διαδρομής. Η κατεύθυνση αυτής της δύναμης είναι πάντα προς το κέντρο της καμπύλης και είναι αυτή που κρατά το αντικείμενο σε αυτό το μονοπάτι, εμποδίζοντάς το να συνεχίσει την κίνησή του σε ευθεία γραμμή.

Καμπυλόγραμμη κίνηση και κεντρομόλος δύναμη

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα αντικείμενο που κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής διαδρομής. Για την περιγραφή της καμπυλόγραμμης κίνησης αυτού του σώματος, χρησιμοποιούνται γωνιακές και γραμμικές μεταβλητές. Οι γωνιακές μεταβλητές είναι αυτές που περιγράφουν την κίνηση του αντικειμένου ως προς τη γωνία που «σαρώνει» κατά μήκος της διαδρομής του. Από την άλλη πλευρά, οι γραμμικές μεταβλητές είναι αυτές που χρησιμοποιούν τη θέση του ως προς το σημείο περιστροφής και την ταχύτητά του στην εφαπτομενική διεύθυνση του καμπύλη.

Η κεντρομόλος επιτάχυνση \({a_c}\) που παρουσιάζεται από ένα αντικείμενο που κινείται σε τροχιά κυκλική με εφαπτομενική ταχύτητα \(v\) και σε απόσταση \(r\) από το σημείο περιστροφής θα είναι δίνεται από:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Η κεντρομόλος επιτάχυνση είναι μια γραμμική μεταβλητή που χρησιμοποιείται για να περιγράψει την καμπυλόγραμμη κίνηση και κατευθύνεται προς το κέντρο της καμπύλης διαδρομής. Από την άλλη πλευρά, η γωνιακή ταχύτητα ω του αντικειμένου, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας σάρωσης (σε ακτίνια) ανά μονάδα χρόνου, δίνεται από:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Ή, μπορούμε να λύσουμε για \(v\):

\(v = \omega r\)

Αυτή είναι η σχέση που υπάρχει μεταξύ της γραμμικής ταχύτητας και της γωνιακής ταχύτητας. Αν το συνδέσουμε στην έκφραση για κεντρομόλο επιτάχυνση παίρνουμε:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι η επιτάχυνση ενός σώματος είναι ευθέως ανάλογη με τη δύναμη που ασκείται σε αυτό και αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα του. Ή, στην πιο γνωστή του μορφή:

\(F = ma\)

Όπου \(F\) είναι η δύναμη, \(m\) είναι η μάζα του αντικειμένου και \(a\) είναι η επιτάχυνση. Στην περίπτωση της καμπυλόγραμμης κίνησης, εάν υπάρχει κεντρομόλος επιτάχυνση πρέπει να υπάρχει και δύναμη κεντρομόλο \({F_c}\) που δρα στο σώμα μάζας \(m\) και που προκαλεί την κεντρομόλο επιτάχυνση \({a_c}\), είναι λένε:

\({F_c} = m{a_c}\)

Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες εκφράσεις με την κεντρομόλο επιτάχυνση παίρνουμε ότι:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Η κεντρομόλος δύναμη κατευθύνεται προς το κέντρο της καμπυλόγραμμης διαδρομής και είναι υπεύθυνη για αλλάζοντας συνεχώς την κατεύθυνση προς την οποία κινείται το αντικείμενο για να συνεχίσει να κινείται κυρτός.

Η βαρύτητα ως κεντρομόλος δύναμη και ο Τρίτος Νόμος του Κέπλερ

Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών δηλώνει ότι το τετράγωνο της τροχιακής περιόδου, δηλαδή ο χρόνος Ο χρόνος που χρειάζεται ένας πλανήτης για να ολοκληρώσει μια τροχιά γύρω από τον Ήλιο είναι ανάλογος με τον κύβο του ημικυρίως άξονα του τροχιά. Αυτό είναι:

\({T^2} = C{r^3}\)

Όπου \(T\) είναι η τροχιακή περίοδος \(C\), είναι μια σταθερά και \(r\) είναι ο ημικύριος άξονας ή η μέγιστη απόσταση μεταξύ του πλανήτη και του Ήλιου σε όλη την τροχιά του.

Για απλότητα, θεωρήστε έναν πλανήτη μάζας \(m\) που κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής τροχιάς γύρω από τον Ήλιο, αν και αυτή η ανάλυση μπορεί να επεκταθεί στην περίπτωση μιας ελλειπτικής τροχιάς και να λάβει το ίδιο αποτέλεσμα. Η δύναμη που κρατά τον πλανήτη στην τροχιά του είναι η βαρύτητα, η οποία θα είναι:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Όπου \({F_g}\) είναι η δύναμη της βαρύτητας, \({M_S}\) είναι η μάζα του Ήλιου, \(G\) είναι η παγκόσμια σταθερά βαρύτητας και \(r\) είναι η απόσταση μεταξύ του πλανήτη και τον ήλιο. Ωστόσο, εάν ο πλανήτης κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής τροχιάς, βιώνει μια κεντρομόλο δύναμη \({F_c}\) που το διατηρεί στην εν λόγω τροχιά και ότι ως προς τη γωνιακή ταχύτητα \(\omega \) θα είναι δίνεται από:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Το περίεργο είναι ότι σε αυτήν την περίπτωση η βαρύτητα είναι εκείνη η κεντρομόλος δύναμη που κρατά τον πλανήτη στην τροχιά του, με λίγα λόγια \({F_g} = {F_c}\), επομένως, μπορούμε να πούμε ότι:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Το οποίο μπορούμε να απλοποιήσουμε ως εξής:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Η γωνιακή ταχύτητα σχετίζεται με την τροχιακή περίοδο με τον ακόλουθο τρόπο:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Αντικαθιστώντας αυτό στην προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε ότι:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Αναδιατάσσοντας τους όρους τελικά παίρνουμε ότι:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Ο τελευταίος είναι ακριβώς ο Τρίτος Νόμος του Κέπλερ που παρουσιάσαμε προηγουμένως και αν συγκρίνουμε τη σταθερά αναλογικότητας θα ήταν \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Τι γίνεται με τη φυγόκεντρη δύναμη;

Είναι πιο συνηθισμένο για αυτό το είδος κίνησης να μιλάμε για «φυγόκεντρη δύναμη» αντί για κεντρομόλο δύναμη. Πάνω απ 'όλα, γιατί είναι αυτό που προφανώς νιώθουμε όταν το βιώνουμε αυτό. Ωστόσο, η φυγόκεντρος δύναμη είναι μια πλασματική δύναμη που προκύπτει από την αδράνεια.

Ας φανταστούμε ότι οδηγούμε σε ένα αυτοκίνητο που ταξιδεύει με συγκεκριμένη ταχύτητα και φρενάρει ξαφνικά. Όταν συμβεί αυτό, θα νιώσουμε μια δύναμη που μας σπρώχνει προς τα εμπρός, ωστόσο, αυτή η φαινομενική δύναμη που νιώθουμε είναι η αδράνεια του ίδιου μας του σώματός μας που θέλει να διατηρήσει την κατάσταση της κίνησής του.

Στην περίπτωση μιας καμπυλόγραμμης κίνησης, η φυγόκεντρος δύναμη είναι η αδράνεια του σώματος που θέλει να διατηρήσει ευθύγραμμη κίνηση αλλά υπόκειται σε μια κεντρομόλο δύναμη που το κρατά στην καμπύλη διαδρομή.

βιβλιογραφικές αναφορές

David Halliday, Robert Resnick & Jearl Walker. (2011). Βασικές αρχές της Φυσικής. Ηνωμένες Πολιτείες: John Wiley & Sons, Inc.