Mis on Maxwelli võrrandid ja kuidas neid defineeritakse?

Ingel Zamora Ramirez | juuli. 2022
Füüsika kraad

Enne neid võrrandeid öeldi, et elektri- ja magnetjõud on "kaugusel olevad jõud", ei olnud teada füüsikalisi vahendeid, mille abil seda tüüpi vastastikmõju toimuks. Pärast palju aastaid kestnud uurimistööd elektrit Y magnetismMichael Faraday aimas, et laengute ja elektrivoolude vahelises ruumis peab olema midagi füüsilist, mis võimaldaks neil üksteisega suhelda ja avaldada kõiki Teadaolevaid elektri- ja magnetnähtusi nimetas ta neid algul "jõujoonteks", mis viis ideeni elektromagnetvälja olemasolust.

Tuginedes Faraday ideele, töötab James Clerk Maxwell välja väljateooria, mida esindab neli osadiferentsiaalvõrrandit. Maxwell nimetas seda "elektromagnetiliseks teooriaks" ja oli esimene, kes lülitas seda tüüpi matemaatilise keele füüsikalisesse teooriasse. Maxwelli võrrandid nende diferentsiaalkujul vaakumi jaoks (st dielektriliste ja/või polariseeritavate materjalide puudumisel) on järgmised:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwelli võrrandid vaakumi jaoks selle diferentsiaalkujul

Kus \(\vec{E}~\)on elektriväli, \(\vec{B}~\)on magnetväli, \(\rho ~\)on tihedus elektrilaeng, \(\vec{J}~~\)on vektor, mis on seotud a-ga elektrivool, \({{\epsilon }_{0}}~\)on vaakumi elektriline läbilaskvus ja \({{\mu }_{0}}~~\)on vaakumi magnetiline läbilaskvus. Kõik need võrrandid vastavad a seadus elektromagnetismist ja sellel on tähendus. Allpool selgitan lühidalt neid kõiki.

Gaussi seadus

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gaussi seadus elektrivälja kohta

See esimene võrrand ütleb meile, et elektrilaengud on elektrivälja allikad, see elektriväli "lahkub" otse laengutest. Veelgi enam, elektrivälja suuna määrab seda tekitava elektrilaengu märk ja väljajoonte lähedus näitab välja enda suurust. Allolev pilt võtab äsja mainitud mõnevõrra kokku.

Illustratsioon 1. Stuudiotööst. Kahe punktlaengu, millest üks positiivne ja teine ​​negatiivne, tekitatud elektriväljade skeem.

See seadus võlgneb oma nime matemaatikule Johann Carl Friedrich Gaussile, kes sõnastas selle oma lahknemisteoreemi põhjal.

Gaussi seadus magnetvälja kohta

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gaussi seadus magnetvälja kohta

Sellel seadusel ei ole konkreetset nime, kuid seda nimetatakse selle sarnasuse tõttu eelmise võrrandiga. Selle väljendi tähendus seisneb selles, et puudub "elektrilaenguga" analoogne "magnetlaeng", st puuduvad magnetilised monopoolused, mis on magnetvälja allikaks. See on põhjus, miks kui purustame magneti pooleks, jääb meil ikkagi kaks sarnast magnetit, mõlemad põhja- ja lõunapoolusega.

Faraday seadus

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faraday induktsiooniseadus

See on kuulus induktsiooniseadus, mille sõnastas Faraday, kui ta 1831. aastal avastas, et muutuvad magnetväljad on võimelised indutseerima elektrivoolu. See võrrand tähendab, et ajas muutuv magnetväli on võimeline esile kutsuma selle ümber elektriväli, mis omakorda võib põhjustada elektrilaengute liikumist ja tekitada a oja. Kuigi see võib alguses tunduda väga abstraktne, on Faraday seadus mootorite, elektrikitarrite ja induktsioonpliitide töö taga.

Ampère-Maxwelli seadus

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Esimene asi, mida see võrrand meile ütleb, on see, et elektrivoolud tekitavad magnetvälju voolu suunas ja et genereeritud magnetvälja suurus sõltub selle suurusest, seda täheldas Oersted ja hiljem suutis Ampère sõnastada. Selle võrrandi taga on aga midagi uudishimulikku ja see on teine ​​liige seadus võrrandi võttis kasutusele Maxwell, kuna see avaldis oli algselt vastuoluline koos teistega tõi see eelkõige kaasa elektrilaengu jäävuse seaduse rikkumise. Selle vältimiseks võttis Maxwell lihtsalt kasutusele selle teise termini, et kogu tema teooria oleks järjepidev, see termin sai nimetuse "nihkevool" ja sel ajal puudusid selle toetuseks eksperimentaalsed tõendid. varundatakse

2. illustratsioon. De Rumruay.- Läbi kaabli voolav elektrivool tekitab Ampère'i seaduse kohaselt selle ümber magnetvälja.

Nihkevoolu tähendus on samamoodi nagu magnetväli muutuja indutseerib elektrivälja, ajas muutuv elektriväli on võimeline genereerima välja magnetiline. Nihkevoolu esimene eksperimentaalne kinnitus oli selle olemasolu demonstreerimine Heinrich Hertzi elektromagnetlained aastal 1887, rohkem kui 20 aastat pärast teooria avaldamist. Maxwell. Esimese nihkevoolu otsese mõõtmise tegi aga M. R. Van Cauwenberghe 1929. aastal.

valgus on elektromagnetlaine

Üks esimesi hämmastavaid ennustusi, mille Maxwelli võrrandid tegid, on selle olemasolu elektromagnetlaineid, kuid mitte ainult, nad näitasid ka, et valgus peab olema selle laine Tüüp. Selle mõnevõrra nägemiseks mängime Maxwelli võrranditega, kuid enne seda on siin mis tahes lainevõrrandi vorm:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Lainevõrrandi üldvorm kolmemõõtmeliselt.

Kus \({{\nabla }^{2}}\) on Laplacia operaator, \(u\) on lainefunktsioon ja \(v\) on laine kiirus. Töötame Maxwelli võrranditega ka tühjas ruumis, st elektrilaengute ja elektrivoolude puudumisel ainult elektri- ja magnetväljadega:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Ja me kasutame ka järgmist identiteet vektorarvutus:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Kui rakendame seda identiteeti elektri- ja magnetväljadele, kasutades ülaltoodud tühja ruumi Maxwelli võrrandeid, saame järgmised tulemused:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Pange tähele nende võrrandite sarnasust ülaltoodud lainevõrrandiga järeldus, elektri- ja magnetväljad võivad käituda nagu lained (elektromagnetlained). Kui me määratleme nende lainete kiiruse kui \(c\) ja võrdleme neid võrrandeid ülaltoodud lainevõrrandiga, võime öelda, et kiirus on:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) ja \({{\epsilon }_{0}}\) on vastavalt vaakumi magnetiline läbilaskvus ja elektriline läbilaskvus ning mõlemad on konstandid universaalid, mille väärtused on \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) ja \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\ korda {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), asendades need väärtused, saame, et \(c\) väärtus on \(c=299 792 458\frac{m}{s}\umbes 300 000 ~ km/s\), mis on täpselt valgus.

Selle väikese analüüsiga saame teha kolm väga olulist järeldust:

1) Elektri- ja magnetväljad võivad käituda nagu lained, see tähendab, et on elektromagnetlaineid, mis on samuti võimelised levima läbi vaakumi.

2) Valgus on elektromagnetlaine, mille kiirus sõltub magnetilisest läbilaskvusest ja läbilaskvusest Söötmest, mille kaudu see levib, on valguse kiirus tühjas ruumis ligikaudu 300 000 km/s.

3) Kuna magnetiline läbitavus ja elektriline läbitavus on universaalsed konstandid, siis valguse kiirus on samuti universaalne konstant, kuid see viitab ka sellele, et selle väärtus ei sõltu kohta raamistik millest seda mõõdetakse.

See viimane väide oli omal ajal väga vastuoluline Kuidas on võimalik, et kiirus valgus on sama sõltumata seda mõõtva inimese liikumisest ja valgusallika liikumisest. valgus? Millegi kiirus peab olema suhteline, eks? Noh, see oli tolleaegse füüsika jaoks veelahe ja see lihtne, kuid sügav tõsiasi viis Albert Einsteini erirelatiivsusteooria väljatöötamiseni 1905. aastal.