Mis on toimingute hierarhia?

Toimingute hierarhia on matemaatiline konventsioon, mis määrab järjekorra, milles kombineeritud arvutustoiminguid tuleks teha sama matemaatiline väide, st kui on olemas matemaatiline väide, kus on matemaatilisi tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine, astmed ja juured) kombineerituna, tuleb neid tulemuseni jõudmiseks teha kindlas järjekorras levinud.

Aga miks on vaja hierarhiat? Sellele vastamiseks peame kõigepealt hästi mõistma matemaatiliste tehtete olemust, mis koosneb teisendusest, mida rakendatakse hulga elementidele. Mõelgem näiteks reaalarvude hulgale ehk nendele arvudele, mida me kõik teame. Kui võtame arvu a ja liidame selle teise arvuga b, saame teise arvu c, mis kuulub samasse reaalarvude hulka, see tähendab:

a+b = c

Lisaks ei mõjuta lisade esitamise järjekord lõpptulemust, st seda a+b = b+a, seda omadust nimetatakse kommutatiivsuseks. Oluline on rääkida liitmisest, sest see on põhitehing, millest tuletatakse kõik teised. Korrutamine pole midagi muud kui korduvate liitmiste jada. Kui meil on jälle arv a ja korrutame selle arvuga b, liidame mõnikord arvu b iseendaga või teise võimalusena liidame b korda arvu a iseendaga. Viimane on nii, kuna korrutamine on kommutatiivne nagu liitmine, tähendab see järgmist:

a⋅b = b⋅a. Eelöeldut saab väljendada järgmiselt:

Saame seda näite abil hõlpsasti visualiseerida. Korrutame 5 × 2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Mis siis, kui me peame sooritama tehte, kus oleme liitmise ja korrutamise kombineerinud? Näiteks: a⋅b+c. Millises järjekorras tuleb liita ja korrutada? Millist operatsiooni peame eelistama? Kui teeme kõigepealt korrutamise ja arendame selle summana, saame:

Nüüd, kui teeksime kõigepealt liitmise ja seejärel korrutamise, saaksime:

Kuna liitmine on kommutatiivne, saame võrrandi parema külje ümber rühmitada, et saada:

Mõlemas olukorras saadud tulemusi võrreldes on lihtne mõista, et:

Sellest järeldame, et toimingute tegemise järjekord mõjutab saadud tulemust. Sama juhtub siis, kui kaasame võimu. Kui tõstame arvu b astmeks c, korrutame c arvu b iseendaga, see tähendab:

Nüüd jätkame järgmise kombineeritud operatsiooniga, mis hõlmab korrutamist ja võimsust a⋅b^c teises järjekorras, nagu me tegime eelmisel juhul. Kui me eelistame esmalt võimu, on meil:

Nüüd, kui sooritame kõigepealt korrutamise ja seejärel astme, saame:

Kasutades ära korrutamise kommutatiivsust, saame võrrandi parema külje ümber rühmitada järgmiselt:

Jällegi saame võrrelda tulemusi, mis on saadud toimingute tegemisel erinevas järjekorras, et mõista, et:

Ka sel juhul mõjutab saadud tulemust toimingute sooritamise järjekord. Niisiis, millises järjekorras tuleb toiminguid teha? Tehtehierarhia kehtestab, et volitused on korrutamisest kõrgemal hierarhia tasemel, nii et võimsused on matemaatilises lauses ülimuslikud. Korrutamisel on omakorda kõrgem hierarhia tase kui liitmisel.

Aga kuidas on lahutamise, jagamise ja juurtega? Lahutamine on liitmise vastandtehte, kui lahutame arvust a arvu b, saame teise arvu c nii, et c+b=a. Midagi sarnast juhtub jagamise ja lahutamisega. Kui jagame arvu a arvuga b ja saame tulemuseks arvu c, oleme leidnud sellise arvu, et b⋅c=a. Ja lõpuks, arvutades arvu a juure b, leiame sellise arvu c, et c^b=a. Need samaväärsused asetavad lahutamise, jagamise ja juure samale hierarhia tasemele vastavalt liitmise, korrutamise ja astmega.

Sulgude ja sulgude kasutamise tavad

Mis juhtub nüüd, kui tahame anda matemaatilises lauses teatud tehtetele prioriteedi, olenemata nende hierarhia tasemest? Selleks kasutatakse sulgusid ja nurksulge. Oletame, et meil on lause a⋅b+c. Sellest, mida oleme varem öelnud, teame juba, et kõigepealt tuleb teha korrutamine ja seejärel liitmine. Aga mis siis, kui me tahame, et see nii ei oleks? Selleks peaksime kasutama sulgusid või nurksulgusid, et eraldada liitmine korrutamisest ja seega eelistada liitmise arvutamist, see tähendab: a⋅(b+c). See põhjustab sulgude ja nurksulgudega eraldatud avalduste prioriteetsuse kõigi muude toimingute ees.

Kõike ülalöeldut arvestades on toimingute hierarhia või nende sooritamise järjekord järgmine:

1) Sulud ja sulud
2) Võimud ja juured
3) Korrutamine ja jagamine
4) Liitmine ja lahutamine

Viited

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Matemaatika alused: I köide. Cambridge, Massachusetts ja London: MIT Press.