Ruutfunktsiooni definitsioon

Reaalmuutuja ruutfunktsioon, mille kuju on väljendatud.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Kui muutuja on \(x\), on \(a, b\) ja c reaalsed konstandid, mida nimetatakse ruutfunktsiooni kordajateks, mille väärtus on \(a \ne 0.\)

Tabelis on toodud üldised näited ruutfunktsioonide ja olukorra kohta, mida nad saavad modelleerida, et hiljem illustreerida nende otsest rakendamist tegelike probleemide põhjal.

Ruutfunktsioon	Olukord, mida saate modelleerida
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Muutuja \(y\) on ruudu pindala, mille külje mõõtmed on \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Muutuja \(y\) on ringi pindala, mille raadius on \(x\).
\(f\left( x \right) = 100–4,9{x^2}\)	Muutuja \(y\) on 100 kõrgusele langenud objekti kõrgus ja \(x\) on kulunud aeg.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Muutuja \(y\) on 45° nurga all paisatud kahurikuuli kõrgus ja kiirus 60 m/s ja \(x\) on kulunud aeg.

Üldvalem ja ruutfunktsioon

Kui \(x = \alpha \) ruutfunktsioon on null, siis arvu \(\alpha \) nimetatakse ruutfunktsiooni juureks, jah, \(\alpha \) on ruutvõrrandi lahendus

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Ruutvõrrandite lahendamise üldvalem on, et ruutfunktsiooni juured on:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ülaltoodust leitakse järgmine seos ruutfunktsiooni juurte ja kordajate vahel:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Märkimisväärsete toodete kaudu tehakse kindlaks järgmine identiteet:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Sarnaselt üldvalemis määratule on kindlaks tehtud, et ruutfunktsiooni saab väljendada järgmisel kujul:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(h = – \frac{b}{{2a}}\) ja \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Lahendades võrrandi:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Saadakse:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Eeltoodust võib järeldada, et \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), ainult siis, kui konstandid \(k\) ja \(a\) on vastandmärgid, sellel ruutfunktsioonil on reaaljuured, mis on: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Kui konstantidel \(k\) ja \(a\) on sama märk, pole ruutfunktsioonil tegelikke juuri.

Kui \(k = 0,\;\;\) on ruutfunktsioonil ainult üks juur.

Näited, mis on rakendatud reaalses elus

Rakenduse näide 1: Majandus

Kool soovib korraldada jalgpalliturniiri, kus iga meeskond mängib teiste võistkondadega vaid korra. Vahekohtu kulude eelarve on 15 600 dollarit, kui vahekohtu maksumus on 200 dollarit mängu kohta. Mitu võistkonda saab turniirile registreeruda?

Probleemi lause: peame leidma funktsiooni, mis arvutab vastete arvu, kui meil on \(n\) võistkonnad, et neid kokku lugeda, eeldame, et meeskond 1 mängib esimesena kõigi teistega, see tähendab \(n – 1\) tikud. Võistkond 2 mängiks nüüd kogu ülejäänud, see tähendab \(n – 2\), kuna nad on juba mänginud meeskonnaga 1. Võistkond 3 on juba mänginud võistkondadega 1 ja 2, seega peaksid nad mängima n-3 võistkondadega.

Ülaltoodud põhjendustega jõuame järgmisele:

\(f\left(n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Kulufunktsioon on:

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

Kuna eelarve on 15 600 dollarit, on meil võrrand:

\(100n\vasak( {n – 1} \parem) = 15600\)

võrrandi lahendus

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Esialgne olukord
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Jagage võrrandi mõlemad pooled 100-ga
\({n^2} – n – 156 = \) Lisa \( – 156\) võrrandi mõlemale küljele
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Meil ​​on \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) ja \( – 13 + 12 = – 1\)
Seda arvestati.
Võrrandi \(n = – 12,\;13\) lahendid
Vastus: Eelarvest jätkub 13 võistkonna registreerimiseks.

Rakenduse näide 2: Majandus

Üks suurlinna transpordibussiettevõte on täheldanud, et kaheksatunnise ööpäeva jooksul veab iga tema buss keskmiselt tuhat reisijat. Et saaksite oma töötajatele palka tõsta, peate tõstma oma piletihinda, mis on praegu 5 dollarit; Majandusteadlane arvutab, et iga peeso eest, mille hind tõuseb, kaotab iga veok keskmiselt 40 reisijat päevas. Ettevõte on välja arvutanud, et palgatõusu katmiseks peab ta saama iga päev lisaks 760 dollarit veoki kohta.Kui palju peab piletihind tõusma?

Probleemi lause: Olgu \(x\) peesode summa, mille võrra pilet tõuseb, mille puhul \(5 + x\) on pileti uus maksumus. Sama tõusuga veab iga veok keskmiselt \(1000–40x\) reisijat päevas.

Lõpuks on tulu veoki kohta:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \parem)\)

Palgatõusu katmiseks peab iga buss koguma: \(1000\vasak( 5 \parem) + 760 = 5760\)

Lõpuks saame võrrandi:

\(–40\vasak( {x + 5} \parem)\vasak( {x – 25} \parem) = 5760\)

võrrandi lahendus
\( – 40\vasak( {x + 5} \parem)\vasak( {x – 25} \parem) = 5760\) Esialgne olukord
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Jagage võrrandi mõlemal küljel \( – 40\)
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Märkimisväärne toode töötati välja
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) igaühele lisati 144
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Meil ​​on \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ paremal) = 19\) ja \( – 19 – 1 = – 20\)
tegureeritud
Võrrandi \(n = 1,19\) lahendused
Vastus: Pileti hind võib tõusta $1 või $19 peesot.

Rakenduse näide 3: Majandus

Leivapood müüb keskmiselt 1200 saia nädalas 6 dollari eest. Ühel päeval otsustas ta tõsta hinna 9 dollarile tükk; nüüd on tema müük vähenenud: ta müüb keskmiselt vaid 750 rulli nädalas. Milline peaks olema iga kukli hind, et müügipunkti tulu oleks võimalikult suur? Oletame, et nõudluse ja hinna vahel on lineaarne seos.

Probleemi püstitus: eeldades, et nõudluse D ja hinna \(x,\) vahel on lineaarne seos, siis

\(D = mx + b\)

Kui \(x = 6;D = 1200;\;\), mis genereerib võrrandi:

\(1200 = 6 m + b\)

Kui \(x = 9;D = 750;\;\) lo ja saadakse võrrand:

\(750 = 9 m + b\)

Võrrandisüsteemi lahendamisel on nõudluse ja hinna vaheline seos:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\vasak( {x – 14} \parem)\)

Sissetulek on võrdne

\(I\vasak( x \parem) = Dx = – 150x\vasak( {x – 14} \parem)\)

Lahendus

Sissetuleku graafik paraboolis, mis avaneb allapoole ja mille maksimaalne väärtus saavutatakse tipus mille saab leida modelleeriva ruutfunktsiooni juurte keskmistamisega tulu. Juured on \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\vasak( 7 \parem)\vasak( {7–14} \parem) = 7350\)

Vastus

Maksimaalne tulu on 7350 dollarit ja see saavutatakse hinnaga 7 dollarit; müüb keskmiselt 1050 rulli nädalas.

Rakenduse näide 4: Majandus

Ühe päeva jooksul \(n\) tooli valmistamise maksumust saab arvutada ruutfunktsiooni abil:

\(C\left(n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Määrake minimaalne saavutatav kulu.

Probleemipüstituses

Graafik \(C\left( n \right)\) on parabool, mis avaneb ülespoole ja jõuab oma miinimumpunkti \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ vasak( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\vasak( {100} \parem) = {\vasak( {100} \parem)^2} – 200\vasak( {100} \parem) + 13000 = 3000\)

Vastus

Madalaim võimalik maksumus on 3000 dollarit ja see saavutatakse 100 tooli valmistamisega.

Rakenduse näide 5: geomeetria

Rombi pindala on 21 cm2; Kui selle diagonaalide pikkuste summa on 17 cm, kui pikk on rombi iga diagonaal?

Probleemi püstitus: rombi pindala arvutatakse järgmiselt:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Selle diagonaalide pikkustega \(D\) ja \(d\) on teada ka:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Asendades saate:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Lõpuks saame võrrandi

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Lahendus
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Esialgne olukord
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Korrutage võrrandi mõlemal küljel \( – 40\)
\({d^2} – 17p + 42 = 0\) Toode töötati välja.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Meil ​​on \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ paremal) = 42\) ja \( – 14 – 3 = – 17\)
tegureeritud
Võrrandi \(d = 3,14\) lahendid
Vastus:

Rombi diagonaalid on 14 cm ja 3 cm.

Rakenduse näide 6: Geomeetria

Soovitakse ehitada ristkülikukujuline kanakuut 140 m2, kasutades ära üsna pikka piirdeaeda, mis moodustab kanakuudi põhja. Ülejäänud kolm külge ehitatakse 34 joonmeetrise traatvõrguga, kui suur peaks olema kanakuulika pikkus ja laius, et kasutada kogu võrku?

Kui suur on samadel tingimustel maksimaalne ala, mida saab sama võrguga tarastada?

Probleemi avaldus: Diagrammi järgi on pindala võrdne:

\(A\vasak( x \parem) = x\vasak( {34 – 2x} \parem) = 2x\vasak( {17 – x} \parem)\)

Kus \(x\) on aiaga risti oleva külje pikkus.

Et teada saada ristküliku mõõtmeid nii, et selle pindala oleks 140 m2, piisab võrrandi lahendamisest

\(2x\vasak( {17 – x} \parem) = 140\)

Kuna \(A\left( x \right)\) graafik on ala maksimaalse väärtuse arvutamiseks allapoole avanev parabool, siis piisab parabooli tipu arvutamisest.

Vastused
Ristküliku mõõtmed pindalaga 140 m2
Aiaga risti oleva külje pikkus

\(x\) Aiaga paralleelse külje pikkus

\(34–2x\)
10 14
7 20

Tipu esimene koordinaat on \(h = \frac{{17}}{2}\) ja

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Pindala on maksimaalne, kui risti asetseva külje suurus on \(\frac{{17}}{2}\;\)m ja paralleelse külje pikkus on 17 m, selle suurus on 17 m, saavutatud maksimaalse pindala väärtus on \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Ruutfunktsiooni graafik

Geomeetrilisest vaatenurgast on juured punktid, kus funktsiooni graafik lõikub teljega \(x\).

Väljendist

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Teeme kindlaks ruutfunktsiooni graafiku üldkuju.

Esimene juhtum \(a > 0\) ja \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Sel juhul rahuldab graafik:

Sümmeetriline: sümmeetriateljega \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) See on \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \parem)\)

See asub telje \(x\) kohal ega ristu sellega. See tähendab, et \(f\left( x \right) > 0\) ei oma tegelikke juuri.

Graafiku madalaim punkt on punktis \(\left( {h, k} \right)\). See on \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Teine juhtum \(a < 0\) ja \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Sel juhul rahuldab graafik:

Sümmeetriline: sümmeetriateljega \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) See on \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \parem)\)

See on allpool telge \(x\) ega ristu sellega. See tähendab, et \(f\left( x \right) < 0\) ei oma tegelikke juuri. Graafiku kõrgeim punkt on punktis \(\left( {h, k} \right)\). See on \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Kolmas juhtum \(a > 0\) ja \(k \le 0\).

See juhtum sarnaneb esimese juhtumiga, erinevus seisneb selles, et nüüd on meil üks reaaljuur (kui \(k = 0\) ) või kaks reaaljuurt.

Sel juhul rahuldab graafik:

Sümmeetriline: sümmeetriateljega \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) See on \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \parem)\)

See lõikub teljega \(x\), see tähendab, et sellel on vähemalt üks reaaljuur.

Graafiku madalaim punkt on punktis \(\left( {h, k} \right)\). See on \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Neljas juhtum \(a < 0\) ja \(k \ge 0\). See juhtum sarnaneb teise juhtumiga, erinevus seisneb selles, et nüüd on meil üks reaaljuur (kui \(k = 0\) ) või kaks reaaljuurt. Sel juhul rahuldab graafik:

Sümmeetriline: sümmeetriateljega \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) See on \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \parem)\)

Graafiku madalaim punkt on punktis \(\left( {h, k} \right)\). See on \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\)

Ruutfunktsiooni graafikut nimetatakse parabooliks ja selle esiletõstmiseks on sümmeetriatelg, punktid, kus see lõikub teljele \(x\) ja tipule, mis on funktsiooni graafiku punkt, kus see saavutab olenevalt funktsioonist oma madalaima või kõrgeima punkti juhtum.

Läbiviidud analüüsi põhjal võime öelda:

Ruutfunktsiooniga \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) seotud parabooli tipp on \(\left( {h, k} \right)\) kus :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

näiteid

Ruutfunktsioon \(y = {x^2}\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( {0,0} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = 0\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	\(\left( {0,0} \right)\)

Ruutfunktsioon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( {2,0} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = 2\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	\(\left( {2,0} \right)\)

Ruutfunktsioon \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = – 2\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Ruutfunktsioon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( {9,8} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = 9\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Ruutfunktsioon \(y = {x^2} + 1\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( {0,1} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = 0\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	Ei oma

Ruutfunktsioon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\vasak( {2, – 1} \parem)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = 2\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	Ei oma

Kui ruutfunktsiooni tegelikud juured on olemas, saame nendega seotud parabooli joonistada nende põhjal. Oletame, et \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Selleks tuleb arvesse võtta järgmist:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Nagu

\(k = f\left( h \right)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beeta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

näiteid

Visandage ruutfunktsiooni graafik \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Lahendus

Juured on \(\alpha = 3\;\) ja \(\beta = – 6\); siis \(h = \frac{{3–6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Nii saame koostada järgmise tabeli

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	olulised elemendid
Parabooli tipp	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Parabooli sümmeetriatelg	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Lõikelõiked teljega \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Funktsiooni graafiku visandamiseks:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Kasutame samu ideid, mida oleme juba kasutanud; Selleks määrame kõigepealt tipu.

Sel juhul \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Kuna \(a > 0\), avaneb parabool ja \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \paremale)}}} \paremale) = 3.\) Järgmisena arvutame \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left(3 \right)^2} – 18\vasak( 3 \parem) + 4 = – 23\)

Parabooli tipp asub \(\left( {3, – 23} \right)\) ja kuna see avaneb ülespoole, siis parabool lõikub teljega \(x\;\) ja selle sümmeetriatelg on \ (x = 3\).

Vaatleme nüüd ruutfunktsiooni

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Sel juhul \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Kuna \(a < 0\), "avaneb" parabool allapoole ja \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \parem)\vasak( { - 5} \parem)}}} \parem) = 1.\) A Järgmisena arvutame \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ paremale) - 9 = - 4\) Tipp parabool on \(\left( {1, - 4} \right)\) ja kuna see avaneb allapoole, siis parabool ei ristu teljega \(x\;\) ja selle sümmeetriatelg on \(x = 1.\)