Geomeetrilise progressi definitsioon

Numbrijada \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Seda nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks, kui alates teisest saadakse iga element eelmise korrutamisest arvuga \(r\ne 0\), st kui:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kus:
- Arvu \(r\) nimetatakse geomeetrilise progressiooni suhteks.
- Elementi \({{a}_{1}}\) nimetatakse aritmeetilise progressiooni esimeseks elemendiks.

Geomeetrilise progressiooni elemente saab väljendada esimese elemendi ja selle suhtega, see tähendab:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Need on aritmeetilise progressiooni neli esimest elementi; üldiselt väljendatakse \(k-\)-ndat elementi järgmiselt:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Kui eelmise avaldise \({{a}_{1}}\ne 0,~\) saame:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Ülaltoodud väljend on samaväärne:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Näide/harjutus 1. Leidke aritmeetilise progressiooni erinevus: \(2,6,18,54,\ldots \) ja leidke elemendid \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Lahendus

Kuna \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), võime järeldada, et suhe on:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Näide/harjutus 2. Aritmeetilises progressioonis on meil: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), määrake geomeetrilise progressiooni suhe ja kirjutage esimesed 5 elementi.

Lahendus

Kandmine

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Leida aritmeetilise progressiooni 5 esimest elementi; arvutame \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Geomeetrilise progressiooni esimesed 5 elementi on:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Näide/harjutus 3. Õhuke klaas neelab 2% seda läbivast päikesevalgusest.

juurde. Kui suur protsent valgust läbib 10 õhukest klaasi?

b. Kui suur protsent valgust läbib 20 õhukest klaasi?

c. Määrake valguse protsent, mis läbib \(n\) õhukesi samade omadustega klaase, mis on paigutatud järjestikku.

Lahendus

Me esindame 1-ga kogu valgust; neelates 2% valgusest, siis 98% valgusest läbib klaasi.

Esitame tähega \({{a}_{n}}\) klaasi läbiva valguse protsenti \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Üldiselt \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

juurde. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); mis ütleb meile, et pärast klaasi 10 läbib 81,707% valgusest

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); mis ütleb meile, et pärast klaasi 20 läbib 66,761%

Geomeetrilise progressiooni esimeste \(n\) elementide summa

Arvestades geomeetrilist progressiooni \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Kui \(r\ne 1\) on esimeste \(n\) elementide summa, siis summa:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Seda saab arvutada

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Näide/harjutus 4. Arvutage näitest 2 \({{S}_{33}}\).

Lahendus

Sel juhul \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) ja \(r=-4\)

rakendades

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left( -4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Näide/harjutus 5. Oletame, et inimene laadib üles foto oma lemmikloomast ja jagab seda oma 3 sõbraga Interneti sotsiaalvõrgustikus ning ühe tunni jooksul nad jagavad fotot veel kolme inimesega ja viimased jagavad veel ühe tunni jooksul fotot veel 3 inimesega inimesed; Ja nii see jätkub; iga inimene, kes foto saab, jagab seda ühe tunni jooksul veel kolme inimesega. Kui paljudel on foto juba 15 tunni pärast?

Lahendus

Järgmine tabel näitab esimesi arvutusi
Aeg Inimesed, kes saavad foto Inimesed, kellel on foto
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Inimeste arv, kes saavad foto tundides \(n\), on võrdne: \({{3}^{n}}\)

Inimeste arv, kellel on foto juba tunnis, on võrdne:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lpunktid +{{3}^{n}}\)

rakendades

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) ja \(n=15\)

Millega:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geomeetrilised vahendid

Antud kaks arvu \(a~\) ja \(b,\) on arvud \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) nimetatakse \(k\) arvude \(a~\) ja \(b\) geomeetrilisteks keskmisteks; kui jada \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) on geomeetriline progressioon.

Arvude \(a~\) ja \(b\) geomeetriliste keskmiste \(k\) väärtuste teadasaamiseks piisab aritmeetilise progressiooni suhte teadmisest, selleks tuleb arvestada järgmisega:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Ülaltoodu põhjal loome suhte:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Lahendades \(d\), saame:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Näide/harjutus 6. Leidke 2 geomeetrilist keskmist arvude -15 ja 1875 vahel.

Lahendus

Kandideerimisel

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) ja \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Kolm geomeetrilist keskmist on:

\(75,-375\)

Näide/harjutus 7. Inimene investeeris raha ja sai iga kuu 6 kuu jooksul intressi ning tema kapital kasvas 10%. Kui eeldada, et määr ei muutunud, siis milline oli kuu intressimäär?

Lahendus

Olgu \(C\) investeeritud kapital; lõppkapital on \(1.1C\); Ülesande lahendamiseks peame paigutama 5 geomeetrilist vahendit, rakendades valemit:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5, ~b=1,1C\) ja \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Saadud kuutasu oli \(1,6%\)