Sega-, ühik-, homogeensete ja heterogeensete murdude määratlus

Segatud. Segamurd koosneb täisarvust, mis on suurem või võrdne ühega, ja õigest murrust, murru üldisest kirjapildist segatud on kujul: \(a + \frac{c}{d},\), mille kompaktne kiri on: \(a\frac{c}{d},\;\), see tähendab: \(a\ murd{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Arvu \(a\) nimetatakse segamurru täisarvuks ja \(\frac{c}{d}\) selle murdosaks.

homogeenne. Kui kahel või enamal murdul on sama nimetaja, nimetatakse neid murdudeks. Näiteks murrud \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) on homogeensed, kuna neil kõigil on sama nimetaja, mis antud juhul on \(4\). Samal ajal kui murrud \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) ei ole homogeensed murrud, kuna \(\frac{5}{2}\) nimetaja on \(2\) ja teiste murdude nimetaja on \(4\). Homogeensete murdude üks eeliseid on see, et funktsioonide liitmise ja lahutamise aritmeetilised toimingud on väga lihtsad.

heterogeenne. Kui kahel või enamal murdul, millest vähemalt kahel ei ole sama nimetaja, nimetatakse neid murde heterogeenseteks murdudeks. Järgmised murrud on heterogeensed: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

ühtne. Murd identifitseeritakse ühikuna, kui lugeja on võrdne 1 \(1,\) \(2\). Järgmised murrud on näited ühikumurdudest: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Segamurru verbaalne väljendus

segafraktsioon	Verbaalne väljendus
\(3\frac{1}{2} = \)	Kolm ja pool tervet
\(5\frac{3}{4} = \)	Viis täisarvu ja kolm neljandikku
\(10\frac{1}{8} = \)	Kümme täisarvu kaheksandikuga

Segamurru teisendamine valeks murdeks

Segafraktsioonid on hindamiseks kasulikud, näiteks on lihtne kindlaks teha:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Kuid segamurrud on tavaliselt ebapraktilised selliste toimingute tegemiseks nagu korrutamine ja jagamine, mistõttu on oluline, kuidas teisendada segamurruks.

Eelmine joonis kujutab segamurdu \(2\frac{3}{4}\), nüüd koosneb iga täisarv neli veerandit, nii et 2 täisarvus on 8 veerandit ja neile tuleb lisada ülejäänud 3 veerandit, see tähendab ütle:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Üldiselt:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Järgmises tabelis on toodud teisi näiteid.

segafraktsioon	Tehtavad toimingud	vale murd
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Vale murru teisendamine segamurruks

Vale murru teisendamiseks segamurruks arvutage jagatis ja lugeja nimetajaga jagamise jääk. Saadud jagatis on segamurru täisarvuline osa ja õige murd on \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{denominator}}}}\)

Näide

\(\frac{{25}}{7}\) teisendamiseks segamurruks:

Tehtavate toimingute jaoks saame:

Allolev tabel näitab teisi näiteid.

vale murd	Jagatise ja jäägi arvutamine	vale murd
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Igapäevane sega- ja õigete fraktsioonide kasutamine

Igapäevaelus peame mõõtma, ostma, hindu võrdlema, allahindlusi pakkuma; mõõtmiseks vajame mõõtühikuid ja nad ei paku alati terveid tooteühikuid ja alati ei maksa ühiku täiskogusega münte.

Näiteks on tavaline, et teatud vedelikke müüakse anumates, mille sisu on \(\frac{3}{4}\;\) liitrit, pool gallonit või poolteist gallonit. Võib-olla küsite toru ostma minnes \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) ja te ei pea ütlema mõõtühikut, mis antud juhul on toll.

Sarnaste murdude põhitehted

\(\frac{3}{4}\) ja \(\frac{2}{4}\) summa on näidatud järgmisel skeemil:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Samal ajal kui lahutamine toimub järgmiselt:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3–2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Üldiselt homogeensete fraktsioonide puhul:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egiptlased ja ühikmurrud

Egiptuse kultuur saavutas märkimisväärse tehnoloogilise arengu ja seda poleks juhtunud ilma matemaatikaga samaväärse arenguta. On ajaloolisi jääke, kust leiate teateid murdude kasutamisest Egiptuse kultuuris, kusjuures erilise eripäraga kasutati ainult ühtseid murde.

On mitmeid juhtumeid, kus murdosa kirjutamine ühikmurdude summana on sama lihtne kui

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Juhul, kui \(n = 2q + 1\), see tähendab veider, on meil järgmine:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Illustreerime seda kahe näitega.

Väljendamiseks \(\frac{2}{{11}}\); sel juhul on meil \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\, seega:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

see tähendab,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Väljendamiseks \(\frac{2}{{17}}\); sel juhul on meil \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Järgmisena näitame mõningaid murde ühikuliste murdude summana,

Murd	Avaldis ühikmurdude summana	Murd	Avaldis ühikmurdude summana
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Eelmise tabeli abil saame lisada murde ja väljendada selliseid summasid; ühikmurdude summana.

Heterogeensete fraktsioonide näited

Näide 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \vasak ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Näide 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \vasak ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Lõpuks saame väljendada sama murdosa ühikuliste murdude summana erineval viisil:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)