Ruut-/kvaarvõrrandi definitsioon

Teise astme võrrand või selle puudumisel ruutvõrrand tundmatu suhtes väljendatakse järgmisel kujul:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kui tundmatu on \(x\), seni kuni \(a, b\) ja c on reaalsed konstandid, kusjuures \(a \ne 0.\)

Ruutvõrrandite lahendamiseks on mitu tehnikat, sealhulgas faktoriseerimine, mille puhul peame vastavalt resolutsioonile arvestama järgmise omadusega:

Kui kahe arvu korrutis on null, on kaks võimalust:

1. Mõlemad on võrdsed nulliga.
2. Kui üks on nullist erinev, siis teine ​​on null

Ülaltoodut saab väljendada järgmiselt:
Kui \(pq = 0\), siis \(p = 0\) või \(q = 0\).

1. praktiline näide: lahendage võrrand \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Esialgne olukord
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	\({x^2}\) lahendamiseks lisage võrrandi mõlemale poolele 8
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Ruutjuur saadakse, otsides isoleerivat \(x.\) 8 arvutatakse ja rakendatakse radikaalide ja võimsuste omadusi.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Saate \({x^2}\) juure
\(x = \pm 2\ruut 2 \)

Lahendused \({x^2} – 8\)=0 on järgmised:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

2. praktiline näide: lahendage võrrand \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Esialgne olukord
\({x^2} – {12^2} = 0\)	144 ruutjuur on 12. Tuvastatakse ruutude erinevus.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Ruudude erinevus on arvesse võetud
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Arvestame võimalusega, et tegur \(x + 12\) on võrdne 0-ga. Saadud võrrand on lahendatud.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Arvestame võimalusega, et tegur \(x – 12\) on võrdne 0-ga. Saadud võrrand on lahendatud.

Võrrandi \({x^2} – 144 = 0\) lahendid on

\(x = – 12,\;12\)

3. praktiline näide: lahendage võrrand \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Esialgne olukord
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) tuvastatakse ühise tegurina ja tehakse faktoriseerimine.
\(x = 0\)	Mõelge võimalusele, et tegur \(x\) on 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Arvestame võimalusega, et tegur \(x – 12\) on võrdne 0-ga. Saadud võrrand on lahendatud.

Võrrandi \({x^2} + 3x = 0\) lahendid on:
\(x = – 3,0\)

4. praktiline näide: lahendage võrrand \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Esialgne olukord
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Ruutjuur arvust 49 on 7 ja \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Tuvastatakse täiuslik ruudukujuline trinoom.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Täiuslik ruuttrinoom on väljendatud ruudus binoomina.
\(x–7 = 0\) \(x = 7\)

Lahendus \({x^2} – 14x + 49 = 0\) on:
\(x = 7\)

5. praktiline näide: lahendage võrrand \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Esialgne olukord
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Toode \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Seda väljendatakse kui \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\vasak( {5x – 4} \parem) – 3\vasak( {5x – 4} \parem) = 0\)	Tuvastage \(2x\) esimeses liites ühise tegurina ja arvutage see. Tuvastage \( – 3\) ühise tegurina teises liites ja faktoristage see.
\(\vasak( {5x – 4} \parem)\vasak( {2x – 3} \parem) = 0\)	Ühistegur \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Arvestame võimalusega, et tegur \(5x – 12\) on võrdne 0-ga. Saadud võrrand on lahendatud.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Mõelge võimalusele, et tegur \(2x – 3\) on võrdne 0-ga. Saadud võrrand on lahendatud.

Lahendused \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) on järgmised:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

6. praktiline näide: lahendage võrrand \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Esialgne olukord Trinoom ei ole täiuslik ruut
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Lisage võrrandi mõlemale poolele -1.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Kuna \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\), lisades \({2^2}\), saame täiusliku ruudu.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Lisage võrrandi mõlemale poolele \({2^2}\;\). Vasak pool on täiuslik ruut.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Täiuslik ruuttrinoom on väljendatud ruudus binoomina.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Võtke võrrandi mõlema külje ruutjuur
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \ruut 3 \)	Lahendage \(x\).

Lahendused \({x^2} + 4x + 1 = 0\) on järgmised:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \ruut 3 \)

7. praktiline näide: lahendage võrrand \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Esialgne olukord Trinoom ei ole täiuslik ruut.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Lisage võrrandi mõlemale küljele 1
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Korrutage võrrandi mõlema poolega nii, et koefitsient \({x^2}\) oleks 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	toodet levitatakse Kuna \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), lisades \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) annab täiusliku ruudukujulise kolminoomi.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	\({\left( {x + 2} \right)^2}\) lahendamiseks lisage võrrandi mõlemale poolele 3
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Täiuslikku ruudukujulist trinoomi väljendatakse kuubikujulise binoomina.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Võtke võrrandi mõlema külje ruutjuur
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Lahendage \(x\).

Lahendused \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) on järgmised:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Ülaltoodud võrrandis kasutatud protseduuri kasutatakse ruutlahenduste üldvalemi leidmiseks.

Teise astme võrrandi üldvalem.

Ruutvõrrandite üldvalem

Sellest jaotisest leiame, kuidas üldiselt ruutvõrrandit lahendada

\(a \ne 0\) vaatleme võrrandit \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Kuna \(a \ne 0\), piisab, kui lahendada:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Esialgne olukord
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Lisage võrrandi mõlemale küljele \( – \frac{c}{a}\).
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Kuna \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), lisades \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) annab täiusliku ruutkolminoomi.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Võrrandi vasak pool on täiuslik ruudukujuline trinoom.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Täiuslik ruuttrinoom on väljendatud ruudus binoomina. Algebraline murd on tehtud.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Võtke võrrandi mõlema külje ruutjuur.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Kehtivad radikaalsed omadused.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Kehtivad absoluutväärtuse omadused.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Lisage võrrandi mõlemale küljele \( – \frac{b}{{2a}}\), et lahendada \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebraline murd on tehtud.

Mõistet \({b^2} – 4{a^2}c\) nimetatakse ruutvõrrandi \(a{x^2} + bx + c = 0\) diskriminandiks.

Kui ülaltoodud võrrandi diskriminant on negatiivne, on lahendused kompleksarvud ja reaalseid lahendeid pole. Keerulisi lahendusi selles märkuses ei käsitleta.

Arvestades ruutvõrrandit \(a{x^2} + bx + c = 0\), kui \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Siis on selle võrrandi lahendid:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Väljend:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Seda nimetatakse ruutvõrrandi üldvalemiks.

8. praktiline näide: lahendage võrrand \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(kuni\)	\(b\)	\(c\)	Diskrimineeriv	tõelisi lahendusi
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\vasak( 3 \parem)\vasak( { – 5} \parem) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Võrrandi lahendid on järgmised:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

9. praktiline näide: lahendage võrrand \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(kuni\)	\(b\)	\(c\)	Diskrimineeriv	tõelisi lahendusi
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\vasak( { – 4} \parem)\vasak( 9 \parem) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\vasak( {17} \parem)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Võrrandi lahendid on järgmised:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

10. praktiline näide: lahendage võrrand \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(kuni\)	\(b\)	\(c\)	Diskrimineeriv	tõelisi lahendusi
\(5\)	-4	\(1\)	\({\vasak( { – 4} \parem)^2} – 4\vasak( 5 \parem)\vasak( 1 \parem) = 16 – 20 = – 4\)	Ei oma

Mitmesugused võrrandid

On olemas mitteruutvõrrandid, mida saab teisendada ruutvõrrandiks.Näeme kahte juhtumit.

Praktiline näide 11: Võrrandi \(6x = 5 – 13\sqrt x \) reaalsete lahendite leidmine

Muutuja \(y = \sqrt x \) muutmisel jääb eelmine võrrand järgmiseks:

\(6{y^2} = 5–13 a\)

\(6{y^2} + 13 a – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15 a – 2 a – 5 = 0\)

\(3a\vasak( {2a + 5} \parem) – \vasak( {2a + 5} \parem) = 0\)

\(\vasak( {2a + 5} \parem)\vasak( {3a – 1} \parem) = 0\)

Seetõttu \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Kuna \(\sqrt x \) tähistab ainult positiivseid väärtusi, võtame arvesse ainult:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Vastus:

Ainus tõeline lahendus on:
\(x = \frac{1}{9}\)

Töötatud näide 12: lahendage võrrand \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Muutuja muutmine:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Saame võrrandi:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5a\)

\(6{y^2} – 5a – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9 a + 4 a – 6 = 0\)

\(3a\vasak( {2a – 3} \parem) + 2\vasak( {2a – 3} \parem) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

\(y\) võimalikud väärtused on:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Eeltoodust käsitleme ainult positiivset lahendust.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Lahendused on \(x = 9.\)