Eksponentfunktsiooni definitsioon

Eksponentfunktsioon modelleerib erinevaid loodusnähtusi ning sotsiaalseid ja majanduslikke olukordi, mistõttu on oluline eksponentsiaalfunktsioonide tuvastamine erinevates kontekstides.

Pidagem meeles, et arvu jaoks on \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) defineeritud, üldiselt on meil see iga \(n\) jaoks ) loomulik arv:

Juhul \(a \ne 0\) on meil järgmine: \({a^0} = 1,\;\) tegelikult, kui \(a \ne 0,\) on mõtet teha toiming \ (\frac{a}{a} = 1;\) eksponentide seaduse rakendamisel on meil:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1–1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Kui \(a = 0\), ei ole eelneval arutlusel mõtet, seetõttu puudub avaldisel \({0^0},\) matemaatiline tõlgendus.

Juhul, kui \(b > 0\) ja on tõsi, et \({b^n} = a,\), öeldakse, et \(b\) on \(a\) n-s juur ja tavaliselt tähistatakse kui \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) või \(b = \sqrt[n]{a}\).

Kui \(a < 0\), ei ole reaalarvu \(b\), mille puhul \({b^2} = a;\), sest \({b^2} \ge 0;\;\ ) nii vormi väljendused \({a^{\frac{m}{n}}}\), ei võeta arvesse \(a < 0.\) Järgmises algebralises avaldises: \({a^n}\) \(a \ ) nimetatakse baasiks ja \(n\) on astendajat \({a^n}\) nimetatakse astme \(a\) astmeks\(\;n\) või seda nimetatakse ka astmeks \(a\) astme \(n,\;\)se järgima järgmisi seadusi eksponenditest:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) iga \(a \ne 0\)

Eksponentfunktsioon on järgmisel kujul:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

kus \(a > 0\) on konstant ja sõltumatuks muutujaks on eksponent \(x\).

Eksponentfunktsiooni analüüsi tegemiseks käsitleme kolme juhtumit

1. juhtum Kui alus \(a = 1.\)

Sel juhul on \(a = 1,\) funktsioon \(f\left( x \right) = {a^x}\) konstantne funktsioon.

2. juhtum Kui alus \(a > 1\)

Sel juhul on meil järgmised võimalused:

\(x\) väärtus
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funktsioon \(f\left( x \right) = {a^x}\) on rangelt kasvav funktsioon, st kui \({x_2} > {x_1}\), siis:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Kui nähtust modelleeritakse eksponentsiaalse funktsiooniga, mille väärtus on \(a > 1\), siis ütleme, et see näitab eksponentsiaalset kasvu.

Juhtum 2 Kui alus \(a < 1\).

\(x\) väärtus
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Kui \(a < 1\), on funktsioon \(f\left( x \right) = {a^x}\) rangelt kahanev funktsioon, st kui \({x_2} > {x_1}\ ), seega:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Kui nähtus on eksponentsiaalse funktsiooniga mudelite puhul \(a < 1\) ütleme, et see näitab lagunemist või vähenemist eksponentsiaalne. Järgmine graafik illustreerib \({a^x}\) käitumist selle kolmel erineval juhul.

Eksponentfunktsiooni rakendused

Näide 1 Rahvastiku kasv

Tähistame \({P_0}\) algpopulatsiooni ja \(r \ge 0\) rahvaarvu kasvutempot, kui rahvastikumäär jääb aja jooksul konstantseks; funktsiooni

\(P\left(t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

Leia rahvaarv ajahetkel t.

Praktiline näide 1

Mehhiko rahvaarv oli 2021. aastal 126 miljonit ja aastakasv oli 1,1%. Kui see kasv säilib, siis kui suur on elanikkond Mehhikos aastal 2031, aastal 2021?

Lahendus

Sel juhul \({P_o} = 126\) ja \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011\), seega peaksite kasutama:

\(P\left(t \right) = {P_0}{\vasak( {1 + .0011} \parem)^t}\)

Järgmine tabel näitab tulemusi

aasta	kulunud aeg (\(t\))	Arvutus	Rahvaarv (miljonid)
2021	0	\(P\left(t \right) = 126{\vasak( {1,0011} \parem)^0}\)	126
2031	10	\(P\left(t \right) = 126{\vasak( {1,0011} \parem)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\left(t \right) = 126{\vasak( {1,0011} \parem)^{30}}\)	174.95

Näide 2 Liitintressi arvutamine

Pangad pakuvad aastaintressi, kuid reaalmäär sõltub sellest, mitu kuud te seda investeerite; Näiteks kui teile pakutakse aastaintressi suurust r%, on reaalne kuuintress \(\frac{r}{{12}}\)%, siis kahe kuu intressimäär on \(\frac{r}{6}\)%, kvartalis on \(\frac{r}{4}\)%, kvartalis on \(\frac{r}{3}\)% ja semester on \(\frac{r}{2}\)%.

Praktiline näide 2

Oletame, et investeerite panka 10 000 ja nad pakuvad teile järgmisi aastaseid intressimäärasid:

Tähtajalised hoiused	Aastamäär	perioodid aastas	tegelik määr	Kogunenud raha \(k\) kuuga
kaks kuud	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
kolm kuud	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
kuus kuud	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

Arv \(e\), Euleri pidev ja pidev huvi.

Oletame nüüd, et meil on algkapital \(C\) ja me investeerime selle fikseeritud intressimääraga \(r > 0\) ning jagame aasta \(n\) perioodideks; aastas kogunenud kapital võrdub:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Et analüüsida, kuidas akumuleeritud kapital käitub, kui \(n\), kasvab, kirjutame kogunenud kapitali ümber ühe aasta jooksul:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

tehes \(m = \frac{n}{r}\), saame:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Kui \(n\) kasvab, kasvab ka \(m = \frac{n}{r}.\)

Kui \(m = \frac{n}{r},\) kasvab, läheneb avaldis \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) sellele, mida nimetatakse Euleri konstant või arv:

\(e \ligikaudu 2,718281828 \lpunkti .\)

Euleri konstandil ei ole lõplikku ega perioodilist kümnendavaldist.

Meil on järgmised ligikaudsed hinnangud

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \umbes C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \umbes C{e^{rs}}.\)

Väljendile:

\(A = \;C{e^r},\)

Saame seda tõlgendada kahel viisil:

1.- Maksimaalse summana, mida saame aastas koguda, kui investeerime kapitali \(C,\;\) aastamääraga \(r.\)

2.- Summana, mis meil koguneks aastaga, kui meie kapitali pidevalt reinvesteeritaks aastamääraga \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

on summa, mis koguneb, kui \(s\) aastat investeeritakse pideva intressiga.

Konkreetne näide 3

Nüüd pöördume tagasi konkreetse näite 2 osa juurde, kus aastane määr on 0,55% kahekuuliste osamaksetena. Arvutage kapital, mis koguneb, kui algkapital on 10 000 ja reinvesteerib pool aastat, kaks aastat, 28 kuud.

\(10{\left( {1,00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

nagu allolev tabel näitab, ei ole \(m = \frac{n}{r},\) väärtus "väike" ja ülaltoodud tabel näitab, et \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) on lähedane Euleri konstandile.

Aeg	Perioodide arv (\(k\))	Kogunenud kapital, tuhandetes, reinvesteeritud iga kahe kuu tagant
Pool aastat	3	\(10{\left( {1,00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Kaks aastat	12	\(10{\left( {1,00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 kuud	19	\(10{\left( {1,00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Aeg	Aastate aeg (\(s\))	Kogunenud kapital, tuhandetes, investeerige pideva intressiga
Pool aastat	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Kaks aastat	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 kuud	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1,00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Näide 2 Amortisatsioon

Praktiline näide 1

Arvuti odavneb igal aastal 30%, kui arvuti maksab 20 000 peesot, siis määrake arvuti hind \(t = 1,12,\;14,\;38\) kuuks.

Sel juhul on ühel:

\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0,30} \right)^t}\)

\(t\) aastates annab järgmises tabelis \(t\) asendamine

aeg kuudes	aeg aastates	arvutused	Numbriline väärtus
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859