Aritmeetilise progressiooni definitsioon

Arvude jada \({a_1},\;{a_2}, {a_3}, \ldots \) on nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks, kui kahe järjestikuse arvu erinevus on võrdne sama arvuga \(d\), see on jah:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Arvu \(d\) nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks.

Elementi \({a_1}\) nimetatakse aritmeetilise jada esimeseks elemendiks.

Aritmeetilise progressiooni elemente saab väljendada esimese elemendi ja selle erinevuse kaudu, see tähendab:

\({a_1}, {a_1} + d, {a_1} + 2 d, {a_1} + 3 d\)

Need on aritmeetilise progressiooni neli esimest elementi; Üldiselt väljendatakse \(k – \)-ndat elementi järgmiselt:

\({a_k} = {a_1} + \vasak( {k – 1} \parem) d\)

Ülaltoodud väljendist saame:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \vasak( {k – 1} \parem) d – \vasak( {{a_1} + \vasak( {l – 1} \parem) d} \parem )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Ülaltoodud väljend on samaväärne:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Aritmeetilise progressiooni jaoks rakendatud näited

1. Leidke aritmeetilise progressiooni erinevus: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​ja leidke elemendid \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Lahendus

Kuna \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), võime järeldada, et erinevus on järgmine:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \vasak( {20–1} \parem) d = 3 + 19\vasak( 5 \parem) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \vasak( {99–1} \parem) d = 3 + 98\vasak( 5 \parem) = 493\)

2. Aritmeetilises progressioonis on meil: \({a_{17}} = 20\;\)ja \({a_{29}} = – 130\), määrame aritmeetilise progressiooni erinevuse ja kirjutame esimesed 5 elementi.

Lahendus

Kandmine

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \vasak( {29–17} \parem) d\)

\( – 130 – 20 = \vasak( {12} \parem) d\)

\(–150 = \vasak( {12} \parem) d\)

\(12 p = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Esimese 5 elemendi leidmiseks; arvutame \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \vasak( {k – 1} \parem) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \vasak( {17 – 1} \parem)\vasak( { – \frac{{25}}{2}} \parem)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Esimesed 5 elementi on:

\(220 220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Hulknurgad ja aritmeetilise progressiooni esimeste \(n\) elementide summa

kolmnurksed numbrid

Kolmnurkarvud \({T_n}\;\) moodustatakse aritmeetilisest progressioonist: \(1,2,3,4 \ldots \); järgmisel viisil.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

ruutnumbrid

Ruutarvud \({C_n}\;\) moodustatakse aritmeetilisest progressioonist: \(1,3,5,7 \ldots \); järgnevalt

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

viisnurksed numbrid

Ruutarvud \({P_n}\;\) moodustatakse aritmeetilisest progressioonist: \(1,3,5,7 \ldots \); järgnevalt

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Järgmisena näitame valemit aritmeetilise progressiooni esimeste \(n\) elementide summa leidmiseks.

Arvestades aritmeetilise progressiooni, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Summa \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) arvutamiseks võite kasutada valemit:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

mis on samaväärne

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Eelmist valemit rakendades saadakse kolmnurk-, ruut- ja viisnurkarvude arvutamise valemid; mis on näidatud järgmises tabelis.

hulknurkne arv	\({a_1}\)	\(d\)	Valem
Kolmnurkne \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Ruut \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Viisnurkne \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Näide hulknurksete arvude kohta

3. Arvutage näitest 2 \({S_{33}}\).

Lahendus

Sel juhul \({a_1} = 200\) ja \(d = – \frac{{25}}{2}\)

rakendades

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\vasak( {400 + 16\vasak( { – 25} \parem)} \parem) = 17\vasak( 0 \parem) = 0\)

aritmeetilised vahendid

Kui on antud kaks arvu \(a\;\) ja \(b,\), nimetatakse numbreid \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) tähendab aritmeetilised arvud \(a\;\) ja \(b\); kui jada \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) on aritmeetiline progressioon.

Arvude \(a\;\) ja \(b\) aritmeetiliste keskmiste \(k\) väärtuste teadmiseks piisab, kui teada aritmeetilise progressiooni erinevust, selleks tuleb teha järgmist. kaalus:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}, {a_{k + 2}} = b,\)

Ülaltoodu põhjal loome suhte:

\(b = a + \vasak( {k + 2 – 1} \parem) d\)

Lahendades \(d\), saame:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

näiteid

4. Leidke 7 aritmeetilist keskmist arvude -5 ja 25 vahel.

Lahendus

Kandideerimisel

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) ja \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmeetilist keskmist on:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Üks inimene andis külmkapi ostmiseks sissemakseks 2000 dollarit ja ülejäänu maksis oma krediitkaardiga 18 kuud ilma intressita. Ta peab maksma 550 dollarit kuus, et tasuda võlg, mille ta omandas külmkapi eest tasumiseks.

juurde. Mis on külmiku maksumus?

b. Kui olete ülejäänu tasunud üle 12 kuu ilma intressita, siis kui suur oleks kuumakse?

Lahendus

juurde. Sel juhul:

\({a_{19}} = 2000 + 18\vasak( {550} \parem)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Arvude 2000 ja 11900 vahel peame leidma 11 aritmeetilist keskmist, mille jaoks:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Arvestades jada \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\), leidke järgmised 3 elementi ja elemendi \(n\) üldavaldis.

Lahendus

Kõnealune jada ei ole aritmeetiline progressioon, kuna \(22 – 7 \ne 45 – 22\), kuid me saame moodustada jada kahe järjestikuse elemendi erinevustega ja järgmises tabelis on näidatud tulemused:

Järjestuse \({b_n}\) elemendid	Jada \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Ülaltoodud tabeli kolmas veerg ütleb meile, et jada \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); on aritmeetiline jada, mille erinevus on \(d = 8\).

Järgmisena kirjutame jada \({b_n}\) elemendid jada \({c_n},\) järgi

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Üldiselt on teil:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Kandideerimisel

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) ja \(d = 8,\) saame:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\vasak( {7 + 4\vasak( {n – 1} \parem)} \parem)\)

\({b_n} = n\vasak( {4n + 3} \parem)\)

Rakendades eelmist valemit: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)