Radikaalide ratsionaliseerimise määratlus (matemaatika)

Radikaalide ratsionaliseerimine on matemaatiline protsess, mis viiakse läbi siis, kui nimetajas on jagatis radikaalide või juurtega. Sel viisil saab hõlbustada matemaatilisi tehteid, kus on kaasatud jagatised radikaalide ja muud tüüpi matemaatiliste objektidega.

Jagatiste tüübid radikaalidega

Oluline on mainida teatud tüüpi jagatisi radikaalidega, mida saab ratsionaliseerida. Enne sujuvamaks muutmise protsessi täielikku alustamist tuleb siiski meeles pidada paar olulist kontseptsiooni. Esiteks oletame, et meil on järgmine avaldis: \(\sqrt[m]{n}\). See on arvu \(n\) juur \(m\), see tähendab, et nimetatud toimingu tulemuseks on arv, mille tõstmine astmeni \(m\) annab meile arvu \(n\) selle tulemusena). Positsioon ja juur on pöördtehted, nii et: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Teisest küljest tasub mainida, et kahe võrdse juure korrutis on võrdne korrutise juurega, see tähendab, et: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Need kaks kinnisvara on ratsionaliseerimisel meie parimad liitlased.

Kõige tavalisem ja lihtsam jagatis koos radikaaliga, mille leiame, on järgmine:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Kus \(a\), \(b\) ja \(c\) võivad olla mis tahes reaalarvud. Ratsionaliseerimisprotsess seisneb sel juhul võimaluse leidmises jagatis avaldise \(\sqrt {{c^2}} = c\) saamiseks, et radikaalist vabaneda. Sel juhul piisab, kui korrutada \(\sqrt c \) nii lugeja kui ka nimetajaga:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Meenutades ülaltoodut, teame, et \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Seetõttu saame lõpuks, et:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Sel viisil oleme eelmist väljendit ratsionaliseerinud. See väljend pole midagi muud kui üldavaldise konkreetne juhtum, mis on järgmine:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kus \(a\), \(b\), \(c\) on mis tahes reaalarvud ja \(n\), \(m\) on positiivsed astmed. Selle avaldise ratsionaliseerimine põhineb samal põhimõttel, mis eelmine, st saada nimetajas avaldis \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Seda saame saavutada, korrutades \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) nii lugeja kui ka nimetaja:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Nimetajas olevate radikaalide korrutist saame arendada järgmiselt: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Seetõttu jääb ratsionaliseeritud jagatis järgmiseks:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Teist tüüpi jagatis radikaalidega, mida saab ratsionaliseerida, on see, mille nimetajas on ruutjuurega binoom:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kus \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ja \(e\;\) on mis tahes reaalarvud. Sümbol \(± \) näitab, et märk võib olla positiivne või negatiivne. Nimetaja binoomil võib olla mõlemad juured või ainult üks, kuid üldisema tulemuse saamiseks kasutame seda käände. Keskne idee ratsionaliseerimisprotsessi läbiviimiseks on sel juhul sama, mis eelmistel juhtudel, ainult et sel juhul korrutame nii lugeja kui ka nimetaja binoomi konjugaadiga, mis on leitud nimetaja. Binoomi konjugaat on binoom, millel on samad terminid, kuid mille keskne sümbol on algse binoomnumbri vastand. Näiteks binoomi \(ux + vy\) konjugaat on \(ux – vy\). Nagu öeldud, on meil siis:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Sümbol \( \mp \) näitab, et märk võib olla positiivne või negatiivne, kuid konjugeeritavate binoomide jaoks peab see vastanduma nimetaja sümbolile. Arendades nimetaja binoomide korrutamist, saame, et:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Lõpuks saame selle:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Sellega oleme ratsionaliseerinud jagatise radikaaliga. Need jagatised radikaalidega on need, mida saab üldiselt ratsionaliseerida. Järgmisena näeme mõningaid näiteid radikaalide ratsionaliseerimisest.

näiteid

Vaatame mõningaid näiteid ratsionaliseerimisest jagatistega ülalmainitud tüüpi radikaalidega. Esiteks oletame, et meil on järgmine jagatis:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Sel juhul piisab lugeja ja nimetaja korrutamisest \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Oletame nüüd, et meil on radikaaliga järgmine jagatis:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}\)

Sel juhul on meil kuupvõimsuse kuues juur. Eelmises osas mainisime, et kui meil on radikaal kujul \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) nimetaja, saame jagatise ratsionaliseerida, korrutades lugeja ja nimetaja \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Võrreldes seda siin esitatud juhtumiga, saame aru, et \(n = 6\), \(c = 4\) ja \(m = 3\), seega Seetõttu saame eelneva jagatise ratsionaliseerida, korrutades lugeja ja nimetaja \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Lõpuks oletame, et meil on järgmine funktsioon:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Nagu eelmises jaotises näidatud, tuleb seda tüüpi jagatise ratsionaliseerimiseks radikaalidega korrutada lugeja ja nimetaja nimetaja konjugaadiga. Sel juhul oleks nimetaja konjugaat \(x – \sqrt x \). Seetõttu oleks väljend järgmine:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Arendades nimetaja konjugeeritud binoomide korrutamist, saame lõpuks, et:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Viited

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel ja Reyes Ricardo. (2009). Aritmeetika. Mehhiko: Pearsoni haridus.