Bernoulli printsiibi/võrrandi definitsioon

Bernoulli põhimõte, mida sageli nimetatakse ka Bernoulli võrrandiks, on hüdrodünaamika ja vedelikumehaanika üks olulisemaid kontseptsioone. Selle sõnastas Šveitsi füüsik ja matemaatik Daniel Bernoulli 1738. aastal oma töö osana.hüdrodünaamika” ja osa energia jäävusest ideaalses liikuvas vedelikus.

Kujutagem ette järgmist olukorda: Meil ​​on voolik, mille kaudu voolab vesi, mis väljub voolikust teatud kiiruse ja teatud rõhuga. Seejärel jätkame vooliku väljalaskeava osalist katmist sõrmega; seda tehes näeme, kuidas vesi väljub nüüd suurema kiirusega. See on näide Bernoulli põhimõttest.

Ideaalsed vedelikud liikumises

Bernoulli põhimõte kehtib liikuvate ideaalsete vedelike kohta, nii et enne selle põhimõtte selgitamist on oluline mainida, mida me ideaalse vedeliku all mõtleme. Ideaalne vedelik on reaalse vedeliku lihtsustus, seda tehakse vedeliku kirjelduse tõttu ideaal on matemaatiliselt lihtsam ja annab meile kasulikke tulemusi, mida saab hiljem laiendada vedelale juhtumile päris.

Vedeliku ideaalseks pidamiseks tehakse neli eeldust ja need kõik on seotud vooluga:

• Ühtlane vool: ühtlane vool on selline, mille puhul vedeliku liikumiskiirus on mis tahes ruumipunktis sama. Teisisõnu eeldame, et vedelik ei turbulentsi.

• Kokkusurumatus: Samuti eeldatakse, et ideaalne vedelik on kokkusurumatu, see tähendab, et sellel on kogu aeg konstantne tihedus.

• Mitteviskoossus: Viskoossus on vedelike omadus, mis üldiselt väljendab takistust, millega vedelik liigub. Viskoossust võib pidada mehaanilise hõõrdumise analoogiks.

• Pöörlev vool: selle eeldusega viitame asjaolule, et liikuv vedelik ei teosta ringliikumist oma tee üheski punktis.

Tehes need eeldused ja omades ideaalset vedelikku, lihtsustame oluliselt matemaatilist käsitlust ja tagame ka energiasäästu, mis on lähtepunktiks põhimõtte suunas Bernoulli.

Bernoulli võrrand selgitatud

Vaatleme ideaalset vedelikku, mis liigub läbi toru, nagu on näidatud järgmisel joonisel:

Nüüd kasutame töö ja kineetilise energia teoreemi, mis on teine ​​viis energia jäävuse seaduse väljendamiseks. See ütleb meile, et:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kus \(W\) on kogu mehaaniline töö ja \({\rm{\Delta }}K\) on kineetilise energia muutus kahe punkti vahel. Selles süsteemis on meil kahte tüüpi mehaanilist tööd, millest üks tehakse vedelikule mõjuva gravitatsioonijõu toimel ja teine, mis tuleneb vedeliku rõhust. Olgu \({W_g}\) gravitatsiooni poolt tehtav mehaaniline töö ja \({W_p}\) mehaaniline töö, mida teeb surve, siis võime öelda, et:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Kuna gravitatsioon on konservatiivne jõud, on selle poolt tehtav mehaaniline töö võrdne kahe punkti gravitatsiooni potentsiaalse energia erinevusega. Vedeliku leidmise algkõrgus on \({y_1}\) ja lõppkõrgus on \({y_2}\), seega on meil:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\vasak( {{y_2} – {y_1}} \parem )\)

Kus \({\rm{\Delta }}m\) on teatud punkti läbiv vedeliku massiosa ja \(g\) on gravitatsioonist tulenev kiirendus. Kuna ideaalne vedelik on kokkusurumatu, siis \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kus \(\rho \) on vedeliku tihedus ja \({\rm{\Delta }}V\) on ruumala osa, mis voolab läbi punkti. Asendades selle ülaltoodud võrrandiga, saame:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Vaatleme nüüd mehaanilist tööd, mida teeb vedeliku rõhk. Rõhk on pindalaühiku kohta avaldatav jõud, see tähendab \(F = PA\). Teisest küljest on mehaaniline töö defineeritud kui \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kus \(F\) on rakendatud jõud ja \({\rm{\Delta }}x\) on sel juhul x-teljel teostatud nihe. Selles kontekstis võime mõelda \({\rm{\Delta }}x\) kui teatud punkti läbiva vedelikuosa pikkusele. Kombineerides mõlemad võrrandid, saame \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Saame aru, et \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), see tähendab, et see on ruumala osa, mis seda punkti läbib. Seetõttu on meil \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Algpunktis tehakse süsteemi mehaaniline töö, mis on võrdne \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) ja lõpp-punktis teeb süsteem ümbruses mehaanilist tööd \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Vedeliku rõhust tingitud mehaaniline töö on sel juhul süsteemiga tehtav töö, millest on lahutatud töö, mida see teeb selle ümbruses, st:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \vasak( {{P_1} – {P_2}} \parem){\rm {\Delta }}V\)

Lõpuks on kineetilise energia erinevus \({\rm{\Delta }}K\) võrdne lõpp-punkti kineetilise energiaga, millest on lahutatud kineetiline energia alguspunktis. See on:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \parem)\)

Ülaltoodust saame teada, et \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ülaltoodud võrrand on siis järgmine:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\vasak( {v_2^2 – v_1^2} \parem)\)

Asendades kõik energiasäästu võrrandis saadud tulemused, saadakse, et:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\vasak( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Võime arvestada võrrandi mõlemal poolel termini \({\rm{\Delta }}V\), mis toob kaasa:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \paremal)\)

Puuduvate toodete väljatöötamisel peame:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Kõiki võrrandi mõlema poole termineid ümber paigutades saame, et:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

See võrrand on seos meie süsteemi algoleku ja lõppseisundi vahel. Lõpuks võime öelda, et:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstant\)

See viimane võrrand on Bernoulli võrrand, millest selle põhimõte tuletatakse. Bernoulli põhimõte on liikuva ideaalse vedeliku säilivusseadus.

Viited

David Halliday, Robert Resnick ja Jearl Walker. (2011). Füüsika alused. Ameerika Ühendriigid: John Wiley & Sons, Inc.