Tsentripetaalse jõu määratlus

Tsentripetaaljõud on jõud, mis mõjub kõverat teed pidi liikuvale objektile. Selle jõu suund on alati kõvera keskpunkti poole ja see hoiab objekti sellel teel, takistades sellel sirgjoonelist liikumist jätkata.

Kurviline liikumine ja tsentripetaalne jõud

Oletame, et objekt liigub mööda ringikujulist rada. Selle keha kõverjoonelise liikumise kirjeldamiseks kasutatakse nurk- ja lineaarseid muutujaid. Nurgamuutujad on need, mis kirjeldavad objekti liikumist nurga all, mida see mööda oma teed "pühkib". Teisest küljest on lineaarsed muutujad need, mis kasutavad selle asukoht pöörlemispunkti suhtes ja kiirus tangentsiaalses suunas kõver.

Tsentripetaalne kiirendus \({a_c}\), mida kogeb trajektooril liikuv objekt ringikujuline tangentsiaalse kiirusega \(v\) ja kaugusel \(r\) pöörlemispunktist on antud:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Tsentripetaalne kiirendus on lineaarne muutuja, mida kasutatakse kõverjoonelise liikumise kirjeldamiseks ja mis on suunatud kõvera tee keskpunkti poole. Teisest küljest, objekti nurkkiirus ω, st pöördenurga muutumise kiirus (radiaanides) ajaühiku kohta, saadakse järgmiselt:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Või saame \(v\) jaoks lahendada:

\(v = \omega r\)

See on seos, mis eksisteerib lineaarkiiruse ja nurkkiiruse vahel. Kui ühendame selle tsentripetaalse kiirenduse avaldisesse, saame:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Newtoni teine ​​seadus ütleb meile, et keha kiirendus on otseselt võrdeline sellele rakendatava jõuga ja pöördvõrdeline selle massiga. Või selle kõige tuntumal kujul:

\(F = ma\)

Kus \(F\) on jõud, \(m\) on objekti mass ja \(a\) on kiirendus. Kõverjoonelise liikumise korral peab tsentripetaalse kiirenduse korral olema ka jõud tsentripetaalne \({F_c}\), mis mõjutab keha massiga \(m\) ja põhjustab tsentripetaalset kiirendust \({a_c}\), on ütle:

\({F_c} = m{a_c}\)

Asendades tsentripetaalse kiirenduse eelmised avaldised, saame järgmise:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Tsentripetaalne jõud on suunatud kõverjoonelise tee keskpunkti poole ja vastutab selle eest muutes pidevalt objekti liikumissuunda, et hoida seda liikumises kurviline.

Gravitatsioon kui tsentripetaalne jõud ja Kepleri kolmas seadus

Kepleri kolmas planeetide liikumise seadus ütleb, et orbitaalperioodi ruut ehk aeg Aeg, mis kulub planeedil ühe orbiidi ümber Päikese sooritamiseks, on võrdeline planeedi poolsuure telje kuubiga. orbiit. See on:

\({T^2} = C{r^3}\)

Kus \(T\) on orbiidi periood \(C\), on konstant ja \(r\) on poolsuurtelg ehk maksimaalne vahemaa planeedi ja Päikese vahel kogu selle orbiidil.

Lihtsuse huvides kaaluge planeeti massiga \(m\), mis liigub mööda ringikujulist orbiiti ümber Päikese, kuigi seda analüüsi saab laiendada ka elliptilise orbiidi korrale ja saada sama tulemus. Jõud, mis hoiab planeeti oma orbiidil, on gravitatsioon, mis on:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Kus \({F_g}\) on gravitatsioonijõud, \({M_S}\) on Päikese mass, \(G\) on universaalne gravitatsioonikonstant ja \(r\) on planeedi vaheline kaugus ja päikest. Kui aga planeet liigub mööda ringikujulist orbiiti, kogeb see tsentripetaalset jõudu \({F_c}\), mis hoiab seda nimetatud trajektooril ja mis nurkkiiruse seisukohalt on \(\omega \) antud:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Huvitav on see, et antud juhul on gravitatsioon see tsentripetaalne jõud, mis hoiab planeeti oma orbiidil, mõne sõnaga \({F_g} = {F_c}\), seega võime öelda, et:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Mida saame lihtsustada järgmiselt:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Nurkkiirus on seotud orbiidi perioodiga järgmiselt:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Asendades selle eelmise võrrandiga, saame, et:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Tingimusi ümber korraldades saame lõpuks järgmise:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Viimane on täpselt Kepleri kolmas seadus, mille me varem esitasime ja kui võrrelda proportsionaalsuskonstanti, oleks see \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Aga tsentrifugaaljõud?

Seda tüüpi liigutuste puhul räägitakse sagedamini tsentripetaaljõu asemel tsentrifugaaljõust. Eelkõige sellepärast, et seda me seda kogedes ilmselt tunneme. Tsentrifugaaljõud on aga fiktiivne jõud, mis tuleneb inertsist.

Kujutagem ette, et sõidame autos, mis sõidab teatud kiirusega ja äkitselt pidurdab. Kui see juhtub, tunneme jõudu, mis meid edasi lükkab, kuid see näiline jõud, mida tunneme, on meie enda keha inerts, mis soovib oma liikumisseisundit säilitada.

Kõverjoonelise liikumise korral on tsentrifugaaljõud keha inerts, mis soovib oma keha säilitada. sirgjooneline liikumine, kuid sellele mõjub tsentripetaalne jõud, mis hoiab seda kõveral teel.

Viited

David Halliday, Robert Resnick ja Jearl Walker. (2011). Füüsika alused. Ameerika Ühendriigid: John Wiley & Sons, Inc.