Näide täisruumist

Matemaatiline analüüs on matemaatikateaduste haru, mis tegeleb uurimisega täis ruumi, mis on teatud meetriline ruum.

Metriline ruum koosneb punktipaaridest ja funktsioon nende vahelisest kaugusest; neis ruumides on võimalik määratleda Cauchy jada, mis moodustub nende kahe punkti vahelistest üha väiksematest vahemaadest. Kui meetrises ruumis ei ole järjestusest enam võimalik leida väiksemat vahemaad, siis on meil a täis ruumi. Suletud arvkomplektid, st need, milles on piir, on täielikud tühikud.

Näide täisruumist:

Naturaalsete arvude komplekt, sealhulgas 0, on täielik tühik, kuna see hulk on 0 lõpuks suletud. Selle numbrikomplekti esindus on N= [0, 1, 2,... n}.

Võtame selle komplekti kahe elemendi, näiteks 4 ja 8 vahel kaks suvalist punkti, mis on esitatud järgmiselt p = (4, 8), kahe punkti vaheline kaugusfunktsioon on võrdne 4-ga, Cauchy-jada annab järjestus {4, 3, 2, 1, 0}, mis koondub 0.

Teine näide on tähega {0} moodustatud positiivsete reaalarvude hulk, mis on tähistatud kui JA⁺= [0, 1, 2, 3, 4,….

N}, kuna selles ruumis on antud kaks punkti, siis Cauchy järjestus läheneb, kui kaugus on 0

Ratsionaalsete arvude hulk ei ole täielik tühik, kuna kaugus 0 (arv 0 arvuna ei ole) eksisteerib selles komplektis), mis muudab Cauchy järjestuse mitte üheski selle punktis seatud.

Naturaalsete arvude mis tahes suletud intervall on täielik ruum.