Mikä on Diracin yhtälö ja miten se määritellään?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) ehdotti vuoden 1928 lopussa yhtä tärkeimmistä yhtälöistä ja vaikutukset nykyisen aikakauden fysiikkaan, ja tämä johtuu siitä, että se yhdistää kvanttimekaniikan periaatteet suhteellisuusteoria.

Lainaus (APA)

Evelyn Maitee Marin | elokuu 2022
Teollisuusinsinööri, Fysiikan maisteri ja EdD

Tämä yhtälö voidaan ilmaista useilla tavoilla, joista tiiviin ja yksinkertaisin on se, jota pidetään yhtenä tieteen esteettisimmistä yhtälöistä:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Missä:
i: kuvitteellinen yksikkö
m: elektronin lepomassa
ħ: Planckin pelkistetty vakio
c: nopeus valosta
: osittaisten johdannaisten summausoperaattori
: elektronin matemaattinen aaltofunktio

Aaltofunktion neliön itseisarvo edustaa todennäköisyys löytää hiukkanen tietyssä paikassa ottaen huomioon sen Energiaa, nopeus, muiden parametrien joukossa sekä sen evoluutio aikana. Toisin sanoen Paul Diracin yhtälö käyttää vektoreihin vaikuttavia matriiseja ja edustaa Schrödingerin yhtälön kehitystä relativistisessa kvanttifysiikassa.

Dirac-yhtälöä käytettiin alun perin kuvaamaan elektronin käyttäytymistä ilman vuorovaikutusta, vaikka sen soveltuvuus ulottuu kuvaus subatomisista hiukkasista, kun ne kulkevat lähellä valonnopeutta. Dirac onnistui selittämään subatomisessa mittakaavassa aallon ja hiukkasen kaksoiskäyttäytymisen, joka oli jo tiedossa tuolloin, koska hän otti huomioon hiukkasten ominaisuuksia, kuten kulmamomentin. luontainen tai pyöritä.

Toinen Diracin yhtälön merkittävistä vaikutuksista on antiaineen ennustus, jonka olemassaolon osoitti myöhemmin (vuonna 1932) Carl D. Anderson käytti pilvikammiota, jolla hän tunnisti positroni. Se selittää myös suurelta osin atomispektriviivoissa tunnistetun hienon rakenteen.

Kuvassa on kuuluisa valokuva, joka on otettu "Photonit ja elektronit" -konferenssin aikana vuonna 1927 ja jossa on kuvattu joitakin historian merkittävimmistä tiedemiehistä. Taivaallisella kehällä on Paul Dirac.

Dirac-yhtälön tausta

Ymmärtääksemme Diracin yhtälön kehittämisessä tekemät näkökohdat sekä perusteet, joihin hänen lähestymistapansa perustui, on tärkeää tuntea teoriat ennen häntä malli.

Ensinnäkin on kuuluisa Schrödingerin kvanttimekaniikan yhtälö, joka julkaistiin vuonna 1925 ja joka muuntaa suureet kvanttioperaattoreiksi. Tämä yhtälö käyttää aaltofunktiota () ja ottaa lähtökohtakseen klassisen yhtälön energia E = p2/2m ja sisältää kvantisointisäännöt sekä liikemäärälle (p) että energialle (JA):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\vasen( {r, t} \oikea)} \oikea]\vasen( {r, t} \oikea)\)

Osittaisderivaata /t ilmaisee järjestelmän kehitystä ajan suhteen. Ensimmäinen termi hakasulkeen sisällä viittaa Kineettinen energia (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), kun taas toinen termi liittyy Mahdollinen energia.

Huomaa: Einsteinin suhteellisuusteoriassa tilan ja ajan muuttujien on tultava yhtä paljon yhtälöt, mikä ei pidä paikkaansa Schrödingerin yhtälössä, jossa aika esiintyy derivaatana ja sijainti toinen johdannainen.

Nyt, vuosisatojen ajan, tiedemiehet ovat yrittäneet löytää fysiikan mallin, joka yhdistää eri teoriat, ja Schrödingerin yhtälö ottaa huomioon elektronin massan (m) ja varauksen, mutta ei ota huomioon relativistisia vaikutuksia, jotka ilmenevät korkealla nopeudet. Tästä syystä tutkijat Oskar Klein ja Walter Gordon ehdottivat vuonna 1926 yhtälöä, joka ottaa huomioon suhteellisuusteorian periaatteet:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \oikea]\)

Ongelma Klein-Gordon-yhtälön kanssa on, että se perustuu Einsteinin yhtälöön, jossa energia on neliöity, joten tämä (Klein-Gordon) yhtälö sisältää neliön derivaatan ajan suhteen, ja tämä tarkoittaa, että sillä on kaksi ratkaisua, jotka sallivat negatiiviset ajan arvot, eikä tässä ole järkeä fyysistä. Samoin sillä on haitaksi luoda nollaa pienempiä todennäköisyysarvoja ratkaisuina.

Yrittäessään ratkaista epäjohdonmukaisuuksia, jotka johtuvat tietynsuuruisista negatiivisista ratkaisuista, jotka eivät tue näitä tuloksia, Paul Dirac aloitti Klein-Gordonin yhtälöstä linearisoi sen, ja tässä menettelyssä hän esitteli kaksi parametria dimensioiden 4 matriisien muodossa, jotka tunnetaan nimellä Dirac- tai myös Pauli-matriiseja ja jotka ovat esitys matriisin algebrasta. pyöritä. Näitä parametreja merkitään  ja ` (energiayhtälössä ne esitetään muodossa E = pc + mc2):

Sen mukaan, mikä on tasa-arvo täyttyy, ehto on, että ´2 = m2c4

Yleensä kvantisointisäännöt johtavat operaatioihin derivaatoilla, jotka koskevat skalaariaaltofunktioita, mutta koska parametrit α ja β ovat 4x4 matriiseja, differentiaalioperaattorit puuttuvat neliulotteiseen vektoriin (), joka tunnetaan nimellä spinor.

Dirac-yhtälö ratkaisee Klein-Gordon-yhtälön esittämän negatiivisen energian ongelman, mutta negatiivinen energiaratkaisu ilmenee silti; toisin sanoen hiukkasia, joiden ominaisuudet ovat samanlaiset kuin toisella liuoksella, mutta joilla on vastakkainen varaus, Dirac kutsui tätä antihiukkasiksi. Lisäksi Dirac-yhtälön avulla osoitetaan, että spin on tulosta relativististen ominaisuuksien soveltamisesta kvanttimaailmaan.