Geometrisen etenemisen määritelmä

Numerosarja \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Sitä kutsutaan geometriseksi progressioksi, jos toisesta alkaen jokainen alkio saadaan kertomalla edellisestä luvulla \(r\ne 0\), eli jos:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Missä:
- Lukua \(r\) kutsutaan geometrisen progression suhteeksi.
- Elementtiä \({{a}_{1}}\) kutsutaan aritmeettisen etenemisen ensimmäiseksi elementiksi.

Geometrisen etenemisen elementit voidaan ilmaista ensimmäisellä elementillä ja sen suhteella, eli:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Ne ovat aritmeettisen etenemisen neljä ensimmäistä elementtiä; yleensä \(k-\)-elementti ilmaistaan ​​seuraavasti:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Kun \({{a}_{1}}\ne 0,~\) edellisestä lausekkeesta saadaan:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Yllä oleva lauseke vastaa:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Esimerkki/harjoitus 1. Etsi aritmeettisen etenemisen ero: \(2,6,18,54,\ldots \) ja etsi elementit \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Ratkaisu

Koska \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), voimme päätellä, että suhde on:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Esimerkki/harjoitus 2. Aritmeettisessa progressiossa meillä on: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), määritä geometrisen etenemisen suhde ja kirjoita ensimmäiset 5 elementtiä.

Ratkaisu

Yllään

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Löytää aritmeettisen etenemisen 5 ensimmäistä elementtiä; laskemme \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Geometrisen etenemisen 5 ensimmäistä elementtiä ovat:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \oikea)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Esimerkki/harjoitus 3. Ohut lasi imee 2 % sen läpi kulkevasta auringonvalosta.

to. Kuinka monta prosenttia valosta kulkee 10 ohuen lasin läpi?

b. Kuinka monta prosenttia valoa kulkee 20 ohuen lasin läpi?

c. Määritä valon prosenttiosuus, joka läpäisee \(n\) ohuita laseja, joilla on samat ominaisuudet ja jotka on sijoitettu peräkkäin.

Ratkaisu

Edustamme 1:llä kokonaisvaloa; absorboimalla 2 % valosta, niin 98 % valosta menee lasin läpi.

Esitämme arvolla \({{a}_{n}}\) lasin läpi kulkevan valon prosenttiosuutta \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \oikea)}^{2}}\vasen( 0,98 \oikea),\)

Yleensä \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

to. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); joka kertoo meille, että lasin 10 jälkeen läpäisee 81,707 % valosta

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); joka kertoo meille, että lasin 20 jälkeen 66,761 %

Geometrisen progression ensimmäisten \(n\) elementtien summa

Annettu geometrinen eteneminen \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Kun \(r\ne 1\) on ensimmäisten \(n\) elementtien summa, summa:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Se voidaan laskea

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Esimerkki/harjoitus 4. Laske esimerkistä 2 \({{S}_{33}}\).

Ratkaisu

Tässä tapauksessa \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) ja \(r=-4\)

soveltamalla

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\vasen( -4 \oikea)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Esimerkki/harjoitus 5. Oletetaan, että henkilö lataa kuvan lemmikistään ja jakaa sen 3 ystävänsä kanssa Internetin sosiaaliseen verkostoon, ja tunnin kuluessa jokainen he jakavat valokuvan kolmen muun henkilön kanssa ja sitten jälkimmäinen vielä tunnin kuluttua jakaa valokuvan 3 muun kanssa ihmiset; Ja niin se jatkuu; jokainen valokuvan vastaanottanut henkilö jakaa sen kolmen muun henkilön kanssa tunnin sisällä. Kuinka monella ihmisellä on jo valokuva 15 tunnin kuluttua?

Ratkaisu

Seuraava taulukko näyttää ensimmäiset laskelmat
Aika Ihmiset, jotka saavat valokuvan Ihmiset, joilla on valokuva
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Valokuvan vastaanottaneiden ihmisten määrä tunnissa \(n\) on yhtä suuri kuin: \({{3}^{n}}\)

Ihmisten määrä, joilla on jo valokuva tunnissa, on yhtä suuri:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lpisteet +{{3}^{n}}\)

soveltamalla

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) ja \(n=15\)

Jonka mukaan:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometriset keinot

Annettu kaksi numeroa \(a~\) ja \(b,\) luvut \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) kutsutaan \(k\) geometrisiksi keskiarvoiksi numeroille \(a~\) ja \(b\); jos jono \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) on geometrinen progressio.

Jotta tiedetään lukujen \(a~\) ja \(b\) geometristen keskiarvojen \(k\) arvot, riittää, että tiedät aritmeettisen etenemisen suhteen, tätä varten on otettava huomioon:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Yllä olevan perusteella luomme suhteen:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Ratkaisemalla \(d\) saamme:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Esimerkki/harjoitus 6. Etsi 2 geometristä keskiarvoa lukujen -15 ja 1875 väliltä.

Ratkaisu

Hakemuksen yhteydessä

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(b=375,~a=-15\) ja \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Kolme geometristä keskiarvoa ovat:

\(75,-375\)

Esimerkki/harjoitus 7. Henkilö sijoitti rahaa ja sai korkoa joka kuukausi 6 kuukauden ajan ja hänen pääomansa kasvoi 10 %. Olettaen, että korko ei muutu, mikä oli kuukausikorko?

Ratkaisu

Olkoon \(C\) sijoitettu pääoma; lopullinen pääoma on \(1.1C\); Ongelman ratkaisemiseksi meidän on asetettava 5 geometristä keskiarvoa käyttämällä kaavaa:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

\(k=5,~b=1,1C\) ja \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Vastaanotettu kuukausikorko oli \(1,6 %\)