Seka-, yksikkö-, homogeenisten ja heterogeenisten fraktioiden määritelmä

Sekoitettu. Sekoitettu murtoluku koostuu kokonaisluvusta, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin yksi ja oikeasta murtoluvusta, murtoluvun yleisestä kirjoitusasusta sekoitettu on muotoa: \(a + \frac{c}{d},\), jonka kompakti kirjoitus on: \(a\frac{c}{d},\;\), eli: \(a\ murtoluku{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Lukua \(a\) kutsutaan sekamurtoluvun kokonaislukuosuudeksi ja \(\frac{c}{d}\) sen murto-osaksi.

homogeeninen. Jos kahdella tai useammalla murto-osalla on sama nimittäjä, niiden sanotaan olevan murto-osia. Esimerkiksi murtoluvut \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) ovat homogeenisia, koska niillä kaikilla on sama nimittäjä, joka tässä tapauksessa on \(4\). Vaikka murtoluvut \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) eivät ole homogeeniset murtoluvut, koska \(\frac{5}{2}\) on \(2\) ja muiden murtolukujen nimittäjä on \(4\). Yksi homogeenisten murtolukujen eduista on, että funktioiden yhteen- ja vähennyslaskuoperaatiot ovat hyvin yksinkertaisia.

heterogeeninen. Jos kahdella tai useammalla murto-osalla, joista vähintään kahdella ei ole samaa nimittäjää, niin näiden murto-osien sanotaan olevan heterogeenisia murtolukuja. Seuraavat murtoluvut ovat heterogeenisia: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

yhtenäinen. Murtoluku tunnistetaan yksiköksi, jos osoittaja on 1 \(1,\) \(2\). Seuraavat murtoluvut ovat esimerkkejä yksikkömurtoluvuista: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Sekaosuuden sanallinen ilmaisu

sekoitettu fraktio	Sanallinen ilmaisu
\(3\frac{1}{2} = \)	Kolme ja puoli kokonaista
\(5\frac{3}{4} = \)	Viisi kokonaislukua ja kolme neljäsosaa
\(10\frac{1}{8} = \)	Kymmenen kokonaislukua ja kahdeksasosa

Sekoitettu murto-osa muunnetaan vääräksi jakeeksi

Sekajakeet ovat hyödyllisiä arvioinnissa, esimerkiksi on helppo määrittää:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Sekamurtoluvut ovat kuitenkin yleensä epäkäytännöllisiä suoritettaessa operaatioita, kuten kerto- ja jakolaskuja, minkä vuoksi on tärkeää, miten se muunnetaan sekamurtoluvuksi.

Edellinen luku edustaa sekamurtolukua \(2\frac{3}{4}\), nyt jokainen kokonaisluku koostuu neljä neljäsosaa, joten kahdessa kokonaisluvussa on 8 neljännestä ja näihin on lisättävä loput 3 neljännestä, eli sanoa:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Yleisesti:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Seuraavassa taulukossa on muita esimerkkejä.

sekoitettu fraktio	Suoritettavat toiminnot	väärä murtoluku
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Virheellisen murto-osan muuntaminen sekamurtoluvuksi

Jos haluat muuntaa väärän murtoluvun sekamurtoluvuksi, laske osamäärä ja jakamalla osoittaja nimittäjällä. Saatu osamäärä on sekamurtoluvun kokonaislukuosa ja oikea murtoluku on \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{denominator}}}}\)

Esimerkki

Muuntaaksesi \(\frac{{25}}{7}\) sekamurtoluvuksi:

Suoritamme toimintoja varten:

Alla olevassa taulukossa on muita esimerkkejä.

väärä murtoluku	Osamäärän ja jäännöksen laskenta	väärä murtoluku
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Sekalaisten ja oikeiden fraktioiden päivittäinen käyttö

Jokapäiväisessä elämässä meidän on mitattava, ostettava, vertailtava hintoja, tarjottava alennuksia; mittaamiseen tarvitsemme mittayksiköitä, eivätkä ne aina tarjoa kokonaisia ​​yksiköitä tuotteista, etkä aina maksa yksikön kokonaismäärällä kolikoita.

On esimerkiksi yleistä, että tiettyjä nesteitä myydään astioissa, joiden sisältö on \(\frac{3}{4}\;\) litraa, puoli gallonaa tai puolitoista gallonaa. Ehkä kun menet ostamaan putken, kysyt \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) ja sinun ei tarvitse sanoa mittayksikköä, joka tässä tapauksessa on tuuma.

Samankaltaisten murtolukujen perusoperaatiot

\(\frac{3}{4}\) ja \(\frac{2}{4}\) summa on esimerkki seuraavassa kaaviossa:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Kun vähennys tehdään seuraavasti:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Yleensä homogeenisille fraktioille:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egyptiläiset ja yksikkömurtoluvut

Egyptiläinen kulttuuri saavutti huomattavan teknologisen kehityksen, eikä tämä olisi tapahtunut ilman matematiikan kehitystä. On olemassa historiallisia jäänteitä, joista löytyy muistiinpanoja murtolukujen käytöstä egyptiläisessä kulttuurissa, erityispiirtein, he käyttivät vain yksikkömurtolukuja.

On useita tapauksia, joissa murto-osan kirjoittaminen yksikkömurtolukujen summana on yhtä helppoa kuin

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Siinä tapauksessa, että \(n = 2q + 1\), toisin sanoen pariton, meillä on seuraava:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Havainnollistamme tätä kahdella esimerkillä.

Ilmaista \(\frac{2}{{11}}\); tässä tapauksessa meillä on \(11 = 2\vasen( 5 \oikea) + 1\), joten:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

tarkoittaen,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Ilmaista \(\frac{2}{{17}}\); tässä tapauksessa meillä on \(17 = 2\vasen( 8 \oikea) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Seuraavaksi näytämme joitain murtolukuja yksikkömurtolukujen summana,

Murto-osa	Lauseke yksikkömurtolukujen summana	Murto-osa	Lauseke yksikkömurtolukujen summana
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Edellisen taulukon avulla voimme lisätä murtolukuja ja ilmaista tällaiset summat; yksikkömurtolukujen summana.

Esimerkkejä heterogeenisistä fraktioista

Esimerkki 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \vasen( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \vasen ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \vasen( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Esimerkki 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \vasen( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \vasen ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Lopuksi voimme ilmaista saman murto-osan yksikkömurtolukujen summana eri tavalla kuin:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)