Ekvivalenttien murtolukujen määritelmä

Kahden tai useamman murto-osan sanotaan olevan ekvivalentti, jos ne edustavat samaa määrää, eli jos
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
murto-osien \(\frac{a}{b}\) ja \(\frac{c}{d}\) sanotaan olevan ekvivalentteja.

Vastaavat murtoluvut: Graafinen esitys

Harkitse neliötä, jonka jaamme neljäsosiksi, kolmosiksi, kahdeksasosiksi ja kahdestoistaosiksi.

Edellisistä kuvista huomaamme seuraavat vastaavuudet:

Kuinka saada yksi tai useampi vastaava murtoluku?

On olemassa kaksi perusmenetelmää tiettyä murto-osaa vastaavan murto-osan saamiseksi.

1. Kerro osoittaja ja nimittäjä samalla positiivisella luvulla.

Esimerkkejä:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Se jaetaan osoittajan ja nimittäjän samalla positiivisella yhteisellä jakajalla.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Kun murtoluvussa sekä osoittaja että nimittäjä jaetaan samalla yhteisellä jakajalla kuin 1:llä, sanotaan, että murtoluku on pienennetty.

pelkistymättömiä murtolukuja

Murtolukua kutsutaan redusoitumattomaksi murtoluvuksi, jos osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen jakaja on 1.

Jos \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), murto-osaa \(\frac{a}{b}\) kutsutaan redusoitumattomaksi murtoluvuksi.

Annetaan murtoluku \(\frac{a}{b}\) tätä murtolukua vastaavan murtoluvun saamiseksi, joka on myös redusoitumaton murtoluku, osoittaja ja osoittaja jaetaan \(a\;\) ja numeron suurimmalla yhteisellä jakajalla \(b.\)

Seuraavassa taulukossa on esimerkkejä pelkistymättömistä ja pelkistymättömistä jakeista; jos se on pelkistävissä, se näyttää kuinka saadaan pelkistymätön ekvivalenttimurto.

Murto-osa	Suurin yhteinen jakaja	Vähentämätön	redusoitumaton vastaava murtoluku
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Ei	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Joo	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Ei	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Joo	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Ei	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Vastaavat murtoluvut: sanallinen esitys.

Seuraavassa taulukossa on kaksi eri tapaa näyttää vastaavat tiedot numeerisesta näkökulmasta.

Sanallinen lause	Vastaava lause (numeerisesti)	Argumentointi
Vuonna 1930 Meksikossa 4 ihmistä 25:stä puhui äidinkieltä.	Vuonna 1930 Meksikossa 16 ihmistä 100:sta puhui äidinkieltä.	Molemmat tiedot kerrottiin neljällä
Vuonna 1960 Meksikossa 104 ihmistä tuhannesta puhui äidinkieltä.	Vuonna 1960 Meksikossa 13 ihmistä 125:stä puhui äidinkieltä	Molemmat tiedot jaettiin 8:lla.

Vastaavat murtoluvut: Desimaaliesitys

Alla olevassa taulukossa on erilaisia ​​desimaalilukuja ja niitä edustavia vastaavia murtolukuja.

Desimaaliluku	Murto-osa	vastaava murto-osa	Toiminnot
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Vastaavat murtoluvut: Edustus prosentteina

Alla olevassa taulukossa on erilaisia ​​desimaalilukuja ja niitä edustavia vastaavia murtolukuja.

Desimaaliluku	Murto-osa	vastaava murto-osa	Toiminnot
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Vastaavat jakeet: Heterogeenisistä homogeenisiin

Kun annetaan kaksi heterogeenista murtolukua \(\frac{a}{b}\) ja \(\frac{c}{d}\), voimme löytää kaksi murto-osaa homogeeninen siten, että yksi murto-osa vastaa murto-osaa \(\frac{a}{b}\;\) ja toinen \(\frac{c}{d}\).

Seuraavaksi näytämme kaksi menettelyä edellisessä kappaleessa mainitun suorittamiseksi.

Tarkastellaan:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Seuraavassa taulukossa on esimerkkejä.

F. heterogeeninen	Toiminnot	F. homogeeninen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Tämän menetelmän haittana on, että prosessissa voidaan tuottaa erittäin suuria määriä; Monissa tapauksissa se on mahdollista välttää, jos lasketaan nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen ja toinen menetelmä perustuu pienimmän yhteiskerran laskentaan.

Pienin yhteinen kerrannainen murtolukujen laskennassa

Seuraavaksi kahden esimerkin avulla homogeenisten murtolukujen saaminen käyttämällä nimittäjien pienintä yhteiskertaa, joka on kyseessä olevien murtolukujen yhteinen nimittäjä.

Harkitse murtolukuja: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Kohteiden \(12\) ja \(18\) pienin yhteinen kerrannainen on \(36\); nyt

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Harkitse nyt murtolukuja: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Kohteiden \(10\), \(14\) ja \(3\) pienin yhteinen kerrannainen on \(140\); nyt

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \jako 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Edellisistä kuvista huomaamme seuraavan tosiasian:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Tässä on muita esimerkkejä.

F. heterogeeninen	min yhteisiä nimittäjiä	Toiminnot	F. homogeeninen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)