Neliö/kvartaattiyhtälön määritelmä

Toisen asteen yhtälö tai sen puuttuessa toisen asteen yhtälö suhteessa tuntemattomaan ilmaistaan ​​muodossa:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kun tuntematon on \(x\), kunhan \(a, b\) ja c ovat todellisia vakioita, ja \(a \ne 0.\)

On olemassa useita tekniikoita toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi, mukaan lukien tekijöiden jakaminen, jolloin meidän on otettava huomioon seuraava ominaisuus resoluution mukaan:

Jos kahden luvun tulo on nolla, on kaksi mahdollisuutta:

1. Molemmat ovat yhtä kuin nolla.
2. Jos toinen on nollasta poikkeava, toinen on nolla

Yllä oleva voidaan ilmaista seuraavasti:
Jos \(pq = 0\), niin \(p = 0\) tai \(q = 0\).

Käytännön esimerkki 1: ratkaise yhtälö \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Alkutilanne
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Lisää 8 yhtälön molemmille puolille ratkaistaksesi \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Neliöjuuri saadaan etsimällä eristävää \(x.\) 8 otetaan huomioon ja käytetään radikaalien ja potenssien ominaisuuksia.
\(\vasen| x \oikea| = 2\sqrt 2 \)	Saat \({x^2}\) juuren
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0 ratkaisut ovat:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Käytännön esimerkki 2: Ratkaise yhtälö \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Alkutilanne
\({x^2} – {12^2} = 0\)	144:n neliöjuuri on 12. Neliöiden ero havaitaan.
\(\vasen( {x + 12} \oikea)\vasen( {x – 12} \oikea) = 0\)	Neliöiden ero otetaan huomioon
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Otamme huomioon mahdollisuuden, että tekijä \(x + 12\) on yhtä suuri kuin 0. Saatu yhtälö on ratkaistu.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Otamme huomioon mahdollisuuden, että tekijä \(x – 12\) on yhtä suuri kuin 0. Saatu yhtälö on ratkaistu.

Yhtälön \({x^2} – 144 = 0\) ratkaisut ovat

\(x = – 12,\;12\)

Käytännön esimerkki 3: ratkaise yhtälö \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Alkutilanne
\(x\vasen( {x + 3} \oikea) = 0\)	\(x\) tunnistetaan yhteiseksi tekijäksi ja tekijöiden jako suoritetaan.
\(x = 0\)	Harkitse mahdollisuutta, että tekijä \(x\) on yhtä suuri kuin 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Otamme huomioon mahdollisuuden, että tekijä \(x – 12\) on yhtä suuri kuin 0. Saatu yhtälö on ratkaistu.

Yhtälön \({x^2} + 3x = 0\) ratkaisut ovat:
\(x = – 3,0\)

Käytännön esimerkki 4: Ratkaise yhtälö \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Alkutilanne
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Numeron 49 neliöjuuri on 7 ja \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Täydellinen neliötrinomi tunnistetaan.
\({\vasen( {x – 7} \oikea)^2} = 0\)	Täydellinen neliötrinomi ilmaistaan ​​neliöbinomiaalina.
\(x - 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\) ratkaisu on:
\(x = 7\)

Käytännön esimerkki 5: Ratkaise yhtälö \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Alkutilanne
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Tuote \(\vasen( {10} \oikea)\vasen( {12} \oikea) = 120 = \vasen( { – 8} \oikea)\vasen( { – 15} \oikea)\)
\(\vasen( {10{x^2} – 8x} \oikea) – 15x + 12 = 0\)	Se ilmaistaan ​​muodossa \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\vasen( {5x – 4} \oikea) – 3\vasen( {5x – 4} \oikea) = 0\)	Tunnista \(2x\) yhteiseksi tekijäksi ensimmäisessä lisäyksessä ja kerro se. Tunnista \( – 3\) yhteiseksi tekijäksi toisessa lisäyksessä ja kerro se.
\(\vasen( {5x – 4} \oikea)\vasen( {2x – 3} \oikea) = 0\)	Kerro yhteiskerroin \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Otamme huomioon mahdollisuuden, että kerroin \(5x – 12\) on yhtä suuri kuin 0. Saatu yhtälö on ratkaistu.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Harkitse mahdollisuutta, että kerroin \(2x – 3\) on yhtä suuri kuin 0. Saatu yhtälö on ratkaistu.

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) ratkaisut ovat:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Käytännön esimerkki 6: Ratkaise yhtälö \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Alkutilanne Trinomi ei ole täydellinen neliö
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Lisää -1 yhtälön kummallekin puolelle.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Koska \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) lisäämällä \({2^2}\), saamme täydellisen neliön.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Lisää \({2^2}\;\) yhtälön kummallekin puolelle. Vasen puoli on täydellinen neliö.
\({\vasen( {x + 2} \oikea)^2} = 3\)	Täydellinen neliötrinomi ilmaistaan ​​neliöbinomiaalina.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Ota yhtälön kummankin puolen neliöjuuri
\(\vasen| {x + 2} \oikea| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Ratkaise \(x\).

\({x^2} + 4x + 1 = 0\) ratkaisut ovat:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Käytännön esimerkki 7: Ratkaise yhtälö \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Alkutilanne Trinomi ei ole täydellinen neliö.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Kerro yhtälön kummallakin puolella niin, että kerroin \({x^2}\) on yhtä suuri kuin 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	tuotetta jaetaan Koska \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), lisäämällä \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) antaa täydellisen neliötrinomin.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Lisää 3 yhtälön molemmille puolille ratkaistaksesi \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Täydellinen neliötrinomi ilmaistaan ​​kuutiobinomiaalina.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Ota yhtälön kummankin puolen neliöjuuri
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Ratkaise \(x\).

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) ratkaisut ovat:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Yllä olevassa yhtälössä käytettyä menettelyä käytetään ns. neliöratkaisujen yleiskaavan löytämiseen.

Toisen asteen yhtälön yleinen kaava.

Toisen asteen yhtälöiden yleinen kaava

Tässä osiossa löydämme kuinka ratkaista, yleisellä tavalla, toisen asteen yhtälö

Tarkastellaan \(a \ne 0\) yhtälöä \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Koska \(a \ne 0\), se riittää ratkaisemaan:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Alkutilanne
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Lisää \( – \frac{c}{a}\) yhtälön kummallekin puolelle.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Koska \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), lisäämällä \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) tuottaa täydellisen neliötrinomin.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Yhtälön vasen puoli on täydellinen neliötrinomi.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Täydellinen neliötrinomi ilmaistaan ​​neliöbinomiaalina. Algebrallinen murtoluku on tehty.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Ota yhtälön kummankin puolen neliöjuuri.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikaalit ominaisuudet ovat voimassa.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Absoluuttisen arvon ominaisuudet ovat voimassa.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Lisää yhtälön kummallekin puolelle \( – \frac{b}{{2a}}\) ratkaistaksesi \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebrallinen murtoluku on tehty.

Termiä \({b^2} – 4{a^2}c\) kutsutaan toisen asteen yhtälön \(a{x^2} + bx + c = 0\) diskriminantiksi.

Kun yllä olevan yhtälön diskriminantti on negatiivinen, ratkaisut ovat kompleksilukuja eikä todellisia ratkaisuja ole. Monimutkaisia ​​ratkaisuja ei käsitellä tässä huomautuksessa.

Kun on annettu toisen asteen yhtälö \(a{x^2} + bx + c = 0\), jos \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Sitten tämän yhtälön ratkaisut ovat:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ilmaus:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Sitä kutsutaan toisen asteen yhtälön yleiseksi kaavaksi.

Käytännön esimerkki 8: ratkaise yhtälö \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(vastaanottaja\)	\(b\)	\(c\)	Syrjivä	todellisia ratkaisuja
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\vasen( 3 \oikea)\vasen( { – 5} \oikea) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Yhtälön ratkaisut ovat:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Käytännön esimerkki 9: Ratkaise yhtälö \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(vastaanottaja\)	\(b\)	\(c\)	Syrjivä	todellisia ratkaisuja
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\vasen( { – 4} \oikea)\vasen( 9 \oikea) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\vasen( {17} \oikea)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Yhtälön ratkaisut ovat:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Käytännön esimerkki 10: Ratkaise yhtälö \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(vastaanottaja\)	\(b\)	\(c\)	Syrjivä	todellisia ratkaisuja
\(5\)	-4	\(1\)	\({\vasen( { – 4} \oikea)^2} – 4\vasen( 5 \oikea)\vasen( 1 \oikea) = 16 – 20 = – 4\)	Ei ole

Sekalaiset yhtälöt

On olemassa ei-neliöyhtälöitä, jotka voidaan muuntaa toisen asteen yhtälöiksi. Näemme kaksi tapausta.

Käytännön esimerkki 11: Yhtälön \(6x = 5 – 13\sqrt x \) todellisten ratkaisujen löytäminen

Kun muuttujaa \(y = \sqrt x \) muutetaan, edellinen yhtälö pysyy seuraavana:

\(6{y^2} = 5–13v\)

\(6{y^2} + 13v – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15v – 2v – 5 = 0\)

\(3y\vasen( {2y + 5} \oikea) – \vasen( {2v + 5} \oikea) = 0\)

\(\vasen( {2y + 5} \oikea)\vasen( {3y – 1} \oikea) = 0\)

Siksi \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Koska \(\sqrt x \) tarkoittaa vain positiivisia arvoja, otamme huomioon vain:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Vastaus:

Ainoa todellinen ratkaisu on:
\(x = \frac{1}{9}\)

Toimiva esimerkki 12: Ratkaise yhtälö \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Muuttujan muuttaminen:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Saamme yhtälön:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5v\)

\(6{y^2} – 5v – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9v + 4v – 6 = 0\)

\(3y\vasen( {2y – 3} \oikea) + 2\vasen( {2y – 3} \oikea) = 0\)

\(\vasen( {2y – 3} \oikea)\vasen( {3y + 2} \oikea) = 0\)

\(y\):n mahdolliset arvot ovat:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Yllä mainituista tarkastelemme vain positiivista ratkaisua.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Ratkaisut ovat \(x = 9.\)