Eksponentiaalinen funktion määritelmä

Eksponenttifunktio mallintaa erilaisia ​​luonnonilmiöitä sekä sosiaalisia ja taloudellisia tilanteita, minkä vuoksi on tärkeää tunnistaa eksponentiaaliset funktiot eri yhteyksissä.

Muistakaamme, että luvulle \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) on määritelty, yleensä meillä on se mille tahansa \(n\) ) luonnollinen luku:

Tapauksessa \(a \ne 0\), meillä on tämä: \({a^0} = 1,\;\) itse asiassa, kun \(a \ne 0,\), on järkevää tehdä toiminto \ (\frac{a}{a} = 1;\) eksponenttilakia sovellettaessa meillä on:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Kun \(a = 0\), edellinen päättely ei ole järkevä, joten lausekkeelta \({0^0},\) puuttuu matemaattinen tulkinta.

Jos \(b > 0\) ja on totta, että \({b^n} = a,\), sanotaan, että \(b\) on \(a\):n n: s juuri ja yleensä merkitty \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) tai \(b = \sqrt[n]{a}\).

Kun \(a < 0\), ei ole olemassa todellista lukua \(b\), jolloin \({b^2} = a;\), koska \({b^2} \ge 0;\;\ ) niin muodon ilmaisuja \({a^{\frac{m}{n}}}\), ei oteta huomioon \(a < 0.\) Seuraavassa algebrallisessa lausekkeessa: \({a^n}\) \(a \ ) kutsutaan kantaluvuksi ja \(n\) on kutsutaan eksponenttia, \({a^n}\) kutsutaan \(a\) potenssiksi\(\;n\) tai sitä kutsutaan myös \(a\) potenssiin \(n,\;\)se noudattaa seuraavia lakeja eksponenteista:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) jokaiselle \(a \ne 0\)

Eksponentiaalinen funktio on muotoa:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

missä \(a > 0\) on vakio ja riippumaton muuttuja on eksponentti \(x\).

Eksponentiaalisen funktion analyysin tekemiseksi tarkastelemme kolmea tapausta

Tapaus 1 Kun kanta \(a = 1.\)

Tässä tapauksessa \(a = 1,\) funktio \(f\left( x \right) = {a^x}\) on vakiofunktio.

Tapaus 2 Kun peruste \(a > 1\)

Tässä tapauksessa meillä on seuraavat asiat:

Arvo \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funktio \(f\left( x \right) = {a^x}\) on tiukasti kasvava funktio, eli jos \({x_2} > {x_1}\), niin:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Kun ilmiö mallinnetaan eksponentiaalisella funktiolla, jossa \(a > 1\), sanotaan, että se esittää eksponentiaalista kasvua.

Tapaus 2 Kun kanta \(a < 1\).

Arvo \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Kun \(a < 1\), funktio \(f\left( x \right) = {a^x}\) on tiukasti laskeva funktio, eli jos \({x_2} > {x_1}\ ), joten:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Kun ilmiö on mallit, joissa on eksponentiaalinen funktio, jossa \(a < 1\), sanomme, että se esittää vaimenemisen tai laskun eksponentiaalinen. Seuraava kaavio havainnollistaa \({a^x}\) käyttäytymistä sen kolmessa eri tapauksessa.

Eksponentiaalifunktion sovellukset

Esimerkki 1 Väestönkasvu

Merkitään \({P_0}\) alkupopulaatio ja \(r \ge 0\) väestönkasvu, jos väestömäärä pysyy vakiona ajan mittaan; toiminto

\(P\vasen(t \oikea) = {P_0}{\vasen( {1 + r} \oikea)^t};\)

Etsi populaatio hetkellä t.

Käytännön esimerkki 1

Meksikon väkiluku vuonna 2021 on 126 miljoonaa ja sen vuosikasvu oli 1,1 %. Jos tämä kasvu säilyy, kuinka paljon väkilukua on Meksikossa vuonna 2031, vuonna 2021?

Ratkaisu

Tässä tapauksessa \({P_o} = 126\) ja \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011\), joten sinun tulee käyttää:

\(P\vasen(t \oikea) = {P_0}{\vasen( {1 + .0011} \oikea)^t}\)

Seuraava taulukko näyttää tulokset

vuosi	kulunut aika (\(t\))	Laskeminen	Väestö (miljoonia)
2021	0	\(P\vasen(t \oikea) = 126{\vasen( {1,0011} \oikea)^0}\)	126
2031	10	\(P\vasen(t \oikea) = 126{\vasen( {1,0011} \oikea)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\vasen(t \oikea) = 126{\vasen( {1,0011} \oikea)^{30}}\)	174.95

Esimerkki 2 Koron koron laskeminen

Pankit tarjoavat vuosikoron, mutta reaalikorko riippuu siitä, kuinka monta kuukautta sijoitat sen; Jos sinulle tarjotaan esimerkiksi r%:n vuosikorkoa, todellinen kuukausikorko on \(\frac{r}{{12}}\)%, kahden kuukauden korko on \(\frac{r}{6}\)%, neljännesvuosittain on \(\frac{r}{4}\)%, neljännesvuosittain on \(\frac{r}{3}\)%, ja lukukausi on \(\frac{r}{2}\)%.

Käytännön esimerkki 2

Oletetaan, että sijoitat 10 000 pankkiin ja ne tarjoavat sinulle seuraavat vuosikorot:

Määräaikaiset talletukset	Vuosikorko	jaksoja vuodessa	todellinen korko	Kertynyt raha \(k\) kuukaudessa
kaksi kuukautta	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
kolme kuukautta	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0.00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
kuusi kuukautta	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\vasen( {1 + 0,0078} \oikea)^{\frac{k}{6}}}\)

Luku \(e\), Eulerin jatkuva ja jatkuva korko.

Oletetaan nyt, että meillä on alkupääoma \(C\) ja sijoitamme sen kiinteällä korolla \(r > 0\), ja jaamme vuoden \(n\) jaksoihin; vuoden aikana kertynyt pääoma on yhtä suuri kuin:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Analysoidaksemme, kuinka kertynyt pääoma käyttäytyy, kun \(n\), kasvaa, kirjoitamme kertyneen pääoman uudelleen vuoden sisällä:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

tekemällä \(m = \frac{n}{r}\), saamme:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Kun \(n\) kasvaa, kasvaa myös \(m = \frac{n}{r}.\)

Kun \(m = \frac{n}{r},\) kasvaa, lauseke \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) lähestyy ns. Eulerin vakio tai luku:

\(e \noin 2,718281828 \lpistettä .\)

Eulerin vakiolla ei ole äärellistä tai jaksollista desimaalilauseketta.

Meillä on seuraavat arviot

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \noin C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \noin C{e^{rs}}.\)

Ilmaisuun:

\(A = \;C{e^r},\)

Voimme tulkita sen kahdella tavalla:

1.- Suurin summa, jonka voimme kerätä vuodessa, kun sijoitamme pääomaa \(C,\;\) vuosikorolla \(r.\)

2.- Summa, jonka kerryttäisimme vuodessa, jos pääomamme sijoitettaisiin jatkuvasti uudelleen vuosikorolla \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

on summa, joka kertyy, jos \(s\) vuotta sijoitetaan jatkuvalla korolla.

Konkreettinen esimerkki 3

Nyt palataan konkreettisen esimerkin 2 osaan, jossa vuosikorko on 0,55 % kahden kuukauden erissä. Laske pääoma, joka kertyy, jos alkupääoma on 10 000 ja sijoitetaan uudelleen puoli vuotta, kaksi vuotta, 28 kuukautta.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

kuten alla oleva taulukko osoittaa, \(m = \frac{n}{r},\) arvo ei ole "pieni" ja yllä oleva taulukko osoittaa, että \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) on lähellä Eulerin vakiota.

Aika	Jaksojen lukumäärä (\(k\))	Kertynyt pääoma, tuhansia, sijoitetaan uudelleen kahden kuukauden välein
Puoli vuotta	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Kaksi vuotta	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 kuukautta	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Aika	Vuosien aika (\(s\))	Kertynyt pääoma, tuhansia, sijoittaa jatkuvalla korolla
Puoli vuotta	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Kaksi vuotta	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 kuukautta	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Esimerkki 2 Poistot

Käytännön esimerkki 1

Tietokoneen arvo alenee 30 % joka vuosi. Jos tietokone maksaa 20 000 pesoa, määritä tietokoneen hinta \(t = 1,12,\;14,\;38\) kuukaudeksi.

Tässä tapauksessa yhdellä on:

\(P\vasen(t \oikea) = 20000{\rm{\;}}{\vasen( {1 – 0.30} \oikea)^t}\)

Kun \(t\) on vuosi, korvaamalla \(t\) seuraavassa taulukossa saadaan

aika kuukausissa	aika vuosina	laskelmat	Numeerinen arvo
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\vasen(t \oikea) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859