Aritmeettisen progression määritelmä

Lukujonoa \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi, jos kahden peräkkäisen luvun ero on yhtä suuri kuin sama luku \(d\), eli joo:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Lukua \(d\) kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi.

Elementtiä \({a_1}\) kutsutaan aritmeettisen sekvenssin ensimmäiseksi elementiksi.

Aritmeettisen progression elementit voidaan ilmaista ensimmäisellä elementillä ja sen erolla, eli:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Ne ovat aritmeettisen etenemisen neljä ensimmäistä elementtiä; Yleensä \(k – \)-elementti ilmaistaan ​​seuraavasti:

\({a_k} = {a_1} + \vasen( {k – 1} \oikea) d\)

Yllä olevasta lausekkeesta saamme:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \vasen( {k – 1} \oikea) d – \vasen( {{a_1} + \vasen( {l – 1} \oikea) d} \oikea )\)

\({a_k} – {a_l} = \vasen( {k – l} \oikea) d\)

Yllä oleva lauseke vastaa:

\({a_k} = {a_l} + \vasen( {k – l} \oikea) d\)

Aritmeettiseen progressioon sovellettavia esimerkkejä

1. Etsi aritmeettisen etenemisen ero: \(3,8,13,18, \ldots \) ja etsi elementit \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Ratkaisu

Koska \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), voimme päätellä, että ero on:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \vasen( {20 – 1} \oikea) d = 3 + 19\vasen( 5 \oikea) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \vasen( {99 – 1} \oikea) d = 3 + 98\vasen( 5 \oikea) = 493\)

2. Aritmeettisessa progressiossa meillä on: \({a_{17}} = 20\;\)ja \({a_{29}} = – 130\), määritetään aritmeettisen etenemisen ero ja kirjoitetaan ensimmäiset 5 alkiota.

Ratkaisu

Yllään

\({a_k} – {a_l} = \vasen( {k – l} \oikea) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \vasen( {29 – 17} \oikea) d\)

\( – 130 – 20 = \vasen( {12} \oikea) d\)

\( – 150 = \vasen( {12} \oikea) d\)

\(12p = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Etsi ensimmäiset 5 elementtiä; laskemme \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \vasen( {k – 1} \oikea) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \vasen( {17 – 1} \oikea)\vasen( { – \frac{{25}}{2}} \oikea)\)

\(20 = {a_1} + \vasen( {16} \oikea)\vasen( { – \frac{{25}}{2}} \oikea)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Ensimmäiset 5 elementtiä ovat:

\(220 220 + \vasen( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Monikulmioluvut ja aritmeettisen progression ensimmäisten \(n\) alkioiden summa

kolmionumerot

Kolmioluvut \({T_n}\;\) muodostetaan aritmeettisesta progressiosta: \(1,2,3,4 \ldots \); seuraavalla tavalla.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

neliönumerot

Neliöluvut \({C_n}\;\) muodostetaan aritmeettisesta progressiosta: \(1,3,5,7 \ldots \); seuraavasti

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

viisikulmaisia ​​numeroita

Neliöluvut \({P_n}\;\) muodostetaan aritmeettisesta progressiosta: \(1,3,5,7 \ldots \); seuraavasti

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Seuraavaksi näytämme kaavan aritmeettisen etenemisen ensimmäisten \(n\) alkioiden summan löytämiseksi.

Aritmeettinen eteneminen \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \vasen( {n – 1} \oikea) d\). Laskeaksesi summan \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) voit käyttää kaavaa:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

joka vastaa

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Käyttämällä edellistä kaavaa saadaan kaavat kolmio-, neliö- ja viisikulmaisten lukujen laskemiseksi; jotka on esitetty seuraavassa taulukossa.

monikulmion numero	\({a_1}\)	\(d\)	Kaava
Kolmion muotoinen \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Neliö \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Viisikulmainen \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Esimerkki monikulmioluvuista

3. Laske esimerkistä 2 \({S_{33}}\).

Ratkaisu

Tässä tapauksessa \({a_1} = 200\) ja \(d = – \frac{{25}}{2}\)

soveltamalla

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\vasen( {400 + 16\vasen( { – 25} \oikea)} \oikea) = 17\vasen( 0 \oikea) = 0\)

aritmeettinen tarkoittaa

Kun annetaan kaksi numeroa \(a\;\) ja \(b,\), numeroita \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) kutsutaan \(k\) tarkoittaa aritmeettiset luvut \(a\;\) ja \(b\); jos jono \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) on aritmeettinen progressio.

Lukujen \(a\;\) ja \(b\) aritmeettisten keskiarvojen \(k\) aritmeettisten keskiarvojen tiedoksi riittää, että tiedät aritmeettisen etenemisen eron, tätä varten on harkittu:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Yllä olevan perusteella luomme suhteen:

\(b = a + \vasen( {k + 2 – 1} \oikea) d\)

Ratkaisemalla \(d\) saamme:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

esimerkkejä

4. Etsi 7 aritmeettista keskiarvoa lukujen -5 ja 25 väliltä.

Ratkaisu

Hakemuksen yhteydessä

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) ja \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmeettista keskiarvoa ovat:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Yksi henkilö antoi 2 000 dollaria käsirahana jääkaapin ostoon ja maksoi loput luottokortillaan 18 kuukauden ajan ilman korkoa. Hänen on maksettava 550 dollaria kuukaudessa maksaakseen jääkaapin velan.

to. Mikä on jääkaapin hinta?

b. Jos olet maksanut loput 12 kuukauden aikana ilman korkoa, kuinka suuri kuukausierä olisi?

Ratkaisu

to. Tässä tapauksessa:

\({a_{19}} = 2000 + 18\vasen( {550} \oikea)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Lukujen 2000 ja 11900 väliltä on löydettävä 11 aritmeettista keskiarvoa, joille:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Kun annetaan sekvenssi \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\), etsi seuraavat 3 elementtiä ja elementin \(n\) yleinen lauseke.

Ratkaisu

Kyseinen sekvenssi ei ole aritmeettinen progressio, koska \(22 – 7 \ne 45 – 22\), mutta voimme muodostaa sekvenssi, jossa on kahden peräkkäisen elementin erot ja seuraava taulukko näyttää tulokset:

Sarjan \({b_n}\) elementit	Järjestys \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Yllä olevan taulukon kolmas sarake kertoo, että sekvenssi \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); on aritmeettinen sarja, jonka ero on \(d = 8\).

Seuraavaksi kirjoitamme sekvenssin \({b_n}\) elementit sekvenssin \({c_n},\) mukaisesti.

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Yleensä sinulla on:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \lpisteet + {c_n}\;\)

Hakemuksen yhteydessä

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Kun \({c_1} = 7\) ja \(d = 8,\), saadaan:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\vasen( {7 + 4\vasen( {n – 1} \oikea)} \oikea)\)

\({b_n} = n\vasen( {4n + 3} \oikea)\)

Käyttämällä edellistä kaavaa: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)