Radikaalien rationalisoinnin määritelmä (matematiikka)

Radikaalien rationalisointi on matemaattinen prosessi, joka suoritetaan, kun nimittäjässä on osamäärä radikaalien tai juurien kanssa. Tällä tavalla voidaan helpottaa matemaattisia operaatioita, joissa osamäärät radikaalien ja muun tyyppisten matemaattisten objektien kanssa ovat mukana.

Osamäärän tyypit radikaalien kanssa

On tärkeää mainita tietyntyyppiset osamäärät radikaalien kanssa, jotka voidaan rationalisoida. Ennen kuin siirryt täysimääräisesti virtaviivaistamisprosessiin, on kuitenkin muistettava muutama tärkeä käsite. Oletetaan ensin, että meillä on seuraava lauseke: \(\sqrt[m]{n}\). Tämä on luvun \(n\) juuri \(m\), eli mainitun operaation tulos on sellainen luku, että sen nostaminen potenssiin \(m\) antaa meille luvun \(n\) seurauksena). Potenssi ja juuri ovat käänteisiä operaatioita siten, että: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Toisaalta on syytä mainita, että kahden yhtä suuren juuren tulo on yhtä suuri kuin tuotteen juuri, eli että: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Nämä kaksi kiinteistöä ovat parhaita liittolaisiamme rationalisoitaessa.

Yleisin ja yksinkertaisin osamäärä, jonka voimme löytää, on seuraava:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Missä \(a\), \(b\) ja \(c\) voivat olla mitä tahansa reaalilukuja. Rationalisointiprosessissa tässä tapauksessa etsitään tapa saada osamäärään lauseke \(\sqrt {{c^2}} = c\) radikaalin poistamiseksi. Tässä tapauksessa riittää kertomaan \(\sqrt c \) sekä osoittaja että nimittäjä:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Kun muistamme edellä mainitun, tiedämme, että \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Siksi saamme lopulta, että:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Tällä tavalla olemme rationalisoineet edellistä lauseketta. Tämä lauseke ei ole muuta kuin seuraavan yleisen lausekkeen tietty tapaus:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Missä \(a\), \(b\), \(c\) ovat mitä tahansa reaalilukuja ja \(n\), \(m\) ovat positiivisia potteja. Tämän lausekkeen rationalisointi perustuu samaan periaatteeseen kuin edellinen, eli saa nimittäjään lauseke \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Voimme saavuttaa tämän kertomalla \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) sekä osoittajan että nimittäjän:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Voimme kehittää nimittäjässä olevien radikaalien tuloa seuraavasti: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \vasen( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Siksi rationalisoitu osamäärä pysyy seuraavana:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Toinen rationalisoitavissa oleva osamäärä radikaaleilla on se, jossa meillä on binomi, jonka nimittäjässä on neliöjuuret:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Missä \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ja \(e\;\) ovat mitä tahansa reaalilukuja. Symboli \(± \) osoittaa, että merkki voi olla positiivinen tai negatiivinen. Nimittäjäbinomiaalilla voi olla molemmat juuret tai vain yksi, mutta käytämme tätä tapausta yleisemmän tuloksen saamiseksi. Keskeinen ajatus rationalisointiprosessin toteuttamisesta tässä tapauksessa on sama kuin edellisissä tapauksissa, vain se tässä tapauksessa kerromme sekä osoittajan että nimittäjän binomin konjugaatilla, joka löytyy nimittäjä. Binomin konjugaatti on binomi, jolla on samat ehdot, mutta jonka keskussymboli on alkuperäisen binomiaalin vastainen. Esimerkiksi binomiaalin \(ux + vy\) konjugaatti on \(ux – vy\). Siitä huolimatta meillä on sitten:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symboli \( \mp \) osoittaa, että etumerkki voi olla positiivinen tai negatiivinen, mutta sen on oltava nimittäjän symbolin vastainen, jotta binomiaalit konjugoidaan. Kehittämällä nimittäjän binomien kertolaskua saadaan, että:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Lopulta saamme sen:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Tällä olemme rationalisoineet osamäärän radikaalilla. Nämä osamäärät radikaalien kanssa ovat niitä, jotka voidaan yleensä rationalisoida. Seuraavaksi näemme joitain esimerkkejä radikaalien rationalisoinnista.

esimerkkejä

Katsotaanpa joitain esimerkkejä rationalisoinnista osamäärällä edellä mainitun tyyppisten radikaalien kanssa. Oletetaan ensin, että meillä on seuraava osamäärä:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Tässä tapauksessa riittää kertomaan osoittaja ja nimittäjä \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Oletetaan nyt, että meillä on seuraava osamäärä radikaalin kanssa:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Tässä tapauksessa meillä on kuutiotehon kuudes juuri. Edellisessä osiossa mainittiin, että jos meillä on muotoa \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) oleva radikaali nimittäjä, voimme rationalisoida osamäärän kertomalla osoittajan ja nimittäjän \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Vertaamalla tätä tässä esitettyyn tapaukseen voimme huomata, että \(n = 6\), \(c = 4\) ja \(m = 3\), joten Siksi voimme rationalisoida edellisen osamäärän kertomalla osoittajan ja nimittäjän \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Oletetaan lopuksi, että meillä on seuraava toiminto:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Kuten edellisessä osiossa näytettiin, tämän tyyppisen osamäärän rationalisoimiseksi radikaaleilla sinun on kerrottava osoittaja ja nimittäjä nimittäjän konjugaatilla. Tässä tapauksessa nimittäjän konjugaatti olisi \(x – \sqrt x \). Siksi ilmaus olisi seuraava:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Kehittämällä nimittäjän konjugaattibinomien kertolaskua, saamme lopulta, että:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Viitteet

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel ja Reyes Ricardo. (2009). Aritmeettinen. Meksiko: Pearson Education.