Bernoullin periaatteen/yhtälön määritelmä

Bernoullin periaate, jota usein kutsutaan myös Bernoullin yhtälöksi, on yksi tärkeimmistä hydrodynamiikan ja nestemekaniikan käsitteistä. Sen muotoili sveitsiläinen fyysikko ja matemaatikko Daniel Bernoulli vuonna 1738 osana työtään.hydrodynamiikka” ja osa energian säilymistä ihanteellisessa liikkeessä olevassa nesteessä.

Kuvitellaan seuraava tilanne: Meillä on letku, jonka läpi virtaa vettä, joka poistuu letkusta tietyllä nopeudella ja tietyllä paineella. Sitten jatkamme letkun ulostuloaukon peittämistä osittain sormella; Näin tekemällä näemme, kuinka vesi tulee nyt ulos suuremmalla nopeudella. Tämä on esimerkki Bernoullin periaatteesta toiminnassa.

Ihanteelliset nesteet liikkeessä

Bernoullin periaate koskee ihanteellisia nesteitä liikkeessä, joten ennen kuin alat selittää tätä periaatetta, on tärkeää mainita, mitä tarkoitamme ihanteellisella nesteellä. Ihanteellinen neste on yksinkertaistus todellisesta nesteestä, tämä tehdään nesteen kuvauksen vuoksi ideal on matemaattisesti yksinkertaisempi ja antaa meille hyödyllisiä tuloksia, jotka voidaan myöhemmin laajentaa nestekoteloon todellinen.

On olemassa neljä oletusta, joiden perusteella nesteen katsotaan olevan ihanteellinen, ja ne kaikki liittyvät virtaukseen:

• Tasainen virtaus: Tasainen virtaus on sellainen, jossa nesteen liikkumisnopeus on sama missä tahansa avaruuden kohdassa. Toisin sanoen oletetaan, että neste ei joudu turbulenssiin.

• Kokoonpuristumattomuus: Oletetaan myös, että ihanteellinen neste on kokoonpuristumaton, eli sen tiheys on jatkuvasti vakio.

• Ei-viskositeetti: Viskositeetti on nesteiden ominaisuus, joka yleisesti ottaen edustaa vastusta, jota neste vastustaa liikettä vastaan. Viskositeettia voidaan pitää analogisena mekaanisen kitkan kanssa.

• Irrotaatiovirtaus: Tällä oletuksella tarkoitetaan sitä tosiasiaa, että liikkuva neste ei suorita minkäänlaista ympyräliikettä minkään polkunsa ympäri.

Tekemällä nämä oletukset ja saamalla ihanteellisen nesteen yksinkertaistamme huomattavasti matemaattista käsittelyä ja varmistamme myös energiansäästön, joka on lähtökohta kohti periaatetta Bernoulli.

Bernoullin yhtälö selitetty

Tarkastellaan ihanteellista nestettä, joka liikkuu putken läpi seuraavan kuvan mukaisesti:

Käytämme nyt työ- ja kineettisen energian teoreemaa, joka on toinen tapa ilmaista energian säilymisen lakia. Tämä kertoo meille, että:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Missä \(W\) on mekaaninen kokonaistyö ja \({\rm{\Delta }}K\) on kineettisen energian muutos kahden pisteen välillä. Tässä järjestelmässä meillä on kahden tyyppistä mekaanista työtä, joista toinen tapahtuu nesteen painovoiman vaikutuksesta ja toinen, joka johtuu nesteen paineesta. Olkoon \({W_g}\) painovoiman tekemä mekaaninen työ ja \({W_p}\) paineen tekemä mekaaninen työ, voimme sitten sanoa, että:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Koska painovoima on konservatiivinen voima, sen tekemä mekaaninen työ on yhtä suuri kuin kahden pisteen välinen gravitaatiopotentiaalienergian ero. Alkukorkeus, josta neste löytyy, on \({y_1}\) ja lopullinen korkeus on \({y_2}\), joten meillä on:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\vasen( {{y_2} – {y_1}} \oikea )\)

Missä \({\rm{\Delta }}m\) on nestemassan osuus, joka kulkee tietyn pisteen läpi ja \(g\) on painovoiman aiheuttama kiihtyvyys. Koska ihanteellinen neste on kokoonpuristumaton, niin \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Missä \(\rho \) on nesteen tiheys ja \({\rm{\Delta }}V\) on pisteen läpi virtaava tilavuusosuus. Korvaamalla tämän yllä olevaan yhtälöön saamme:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\vasen( {{y_2} – {y_1}} \oikea)\)

Tarkastellaan nyt nesteen paineen suorittamaa mekaanista työtä. Paine on voima, joka kohdistuu pinta-alayksikköön, eli \(F = PA\). Toisaalta mekaaninen työ määritellään seuraavasti: \(W = F{\rm{\Delta }}x\), missä \(F\) on kohdistettu voima ja \({\rm{\Delta }}x\) on tässä tapauksessa x-akselille suoritettu siirtymä. Tässä yhteydessä voimme ajatella, että \({\rm{\Delta }}x\) on tietyn pisteen läpi virtaavan nesteen osan pituus. Yhdistämällä molemmat yhtälöt saadaan, että \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Voimme ymmärtää, että \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), eli se on tilavuuden osa, joka virtaa tämän pisteen läpi. Siksi meillä on, että \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Alkuvaiheessa järjestelmälle tehdään mekaaninen työ, joka on yhtä suuri kuin \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) ja päätepisteessä järjestelmä tekee mekaanista työtä ympäristölle \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Nesteen paineesta johtuva mekaaninen työ on tällöin järjestelmälle tehty työ vähennettynä sen ympäristöönsä tekemällä työllä, toisin sanoen:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \vasen( {{P_1} – {P_2}} \oikea){\rm {\Delta }}V\)

Lopuksi kineettisen energian ero \({\rm{\Delta }}K\) on yhtä suuri kuin kineettinen energia loppupisteessä miinus liike-energia alkupisteessä. Tuo on:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \oikea)\)

Yllä olevasta tiedämme, että \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Yllä oleva yhtälö on sitten seuraava:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\vasen( {v_2^2 – v_1^2} \oikea)\)

Korvaamalla kaikki energiansäästöyhtälössä saadut tulokset saadaan, että:

\(\vasen( {{P_1} – {P_2}} \oikea){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\vasen( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \oikea)\)

Voimme laskea termin \({\rm{\Delta }}V\) yhtälön molemmille puolille, mikä johtaa:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \oikea)\)

Puuttuvien tuotteiden kehittämiseksi meidän on:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Järjestämällä kaikki termit yhtälön molemmille puolille saadaan, että:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Tämä yhtälö on suhde järjestelmämme alkutilan ja lopullisen tilan välillä. Lopulta voimme sanoa, että:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = vakio\)

Tämä viimeinen yhtälö on Bernoullin yhtälö, josta sen periaate on johdettu. Bernoullin periaate on liikkeessä olevan ihanteellisen nesteen säilymislaki.

Viitteet

David Halliday, Robert Resnick ja Jearl Walker. (2011). Fysiikan perusteet. Yhdysvallat: John Wiley & Sons, Inc.