Keskeisen voiman määritelmä

Keskisuuntainen voima on voima, joka vaikuttaa kaarevaa reittiä pitkin liikkuvaan esineeseen. Tämän voiman suunta on aina kohti käyrän keskustaa ja se pitää kohteen tällä polulla estäen sitä jatkamasta liikettään suorassa linjassa.

Kaareva liike ja keskipitkävoima

Oletetaan, että meillä on esine, joka liikkuu ympyrämäistä polkua pitkin. Tämän kappaleen kaarevan liikkeen kuvaamiseen käytetään kulma- ja lineaarisia muuttujia. Kulmamuuttujat ovat niitä, jotka kuvaavat kohteen liikettä kulmassa, jonka se "pyyhkäisee" polkuaan pitkin. Toisaalta lineaariset muuttujat ovat niitä, jotka käyttävät sen sijainti suhteessa pyörimispisteeseen ja sen nopeus tangentiaalisessa suunnassa käyrä.

Keskikiihtyvyys \({a_c}\), jonka liikeradalla liikkuva esine kokee pyöreä tangentiaalisella nopeudella \(v\) ja etäisyydellä \(r\) pyörimispisteestä on antama:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Keskikiihtyvyys on lineaarinen muuttuja, jota käytetään kuvaamaan kaarevaa liikettä ja joka on suunnattu kohti kaarevan reitin keskustaa. Toisaalta kohteen kulmanopeus ω, eli pyyhkäisykulman muutosnopeus (radiaaneina) aikayksikköä kohti, saadaan kaavalla:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Tai voimme ratkaista \(v\):

\(v = \omega r\)

Tämä on suhde, joka vallitsee lineaarisen nopeuden ja kulmanopeuden välillä. Jos liitämme tämän keskikiihtyvyyden lausekkeeseen, saamme:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Newtonin toinen laki kertoo, että kappaleen kiihtyvyys on suoraan verrannollinen siihen kohdistuvaan voimaan ja kääntäen verrannollinen sen massaan. Tai tunnetuimmassa muodossaan:

\(F = ma\)

Missä \(F\) on voima, \(m\) on kohteen massa ja \(a\) on kiihtyvyys. Kaarevassa liikkeessä, jos on keskikiihtyvyys, täytyy myös olla voimaa keskipitkä \({F_c}\), joka vaikuttaa massakappaleeseen \(m\) ja aiheuttaa keskikiihtyvyyden \({a_c}\), on sanoa:

\({F_c} = m{a_c}\)

Korvaamalla edelliset lausekkeet keskikiihtyvyydelle saadaan, että:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Keskipitkävoima on suunnattu kaarevan reitin keskustaan ​​ja on vastuussa muuttaa jatkuvasti suuntaa, johon kohde liikkuu, jotta se pysyy liikkeessä kaareva.

Painovoima keskusvoimana ja Keplerin kolmas laki

Keplerin kolmas planeettojen liikkeen laki sanoo, että kiertoradan neliö eli aika Aika, joka planeetalta kuluu yhden kiertoradan suorittamiseen Auringon ympäri, on verrannollinen planeetan puolisuuren akselin kuutioon. kiertoradalla. Tuo on:

\({T^2} = C{r^3}\)

Missä \(T\) on kiertoratajakso \(C\), se on vakio ja \(r\) on puolisuurin akseli eli planeetan ja Auringon välinen maksimietäisyys sen kiertoradalla.

Yksinkertaisuuden vuoksi ajatellaan planeettaa, jonka massa on \(m\), joka liikkuu ympyränmuotoista kiertorataa pitkin Auringon ympärillä, vaikka tämä analyysi voidaan laajentaa elliptisen kiertoradan tapaukseen ja saada sama tulos. Voima, joka pitää planeetan kiertoradalla, on painovoima, joka on:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Missä \({F_g}\) on painovoima, \({M_S}\) on auringon massa, \(G\) on universaali gravitaatiovakio ja \(r\) on planeetan välinen etäisyys ja aurinko. Jos planeetta kuitenkin liikkuu ympyränmuotoista kiertorataa pitkin, se kokee keskipitkän voiman \({F_c}\), joka pitää sen mainitulla lentoradalla ja joka kulmanopeuden suhteen on \(\omega \) antama:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Kummallista on, että tässä tapauksessa painovoima on se keskipitkävoima, joka pitää planeetan kiertoradalla, muutamalla sanalla \({F_g} = {F_c}\), joten voimme sanoa, että:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Mitä voimme yksinkertaistaa seuraavasti:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Kulmanopeus on suhteessa kiertoratajaksoon seuraavasti:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Kun tämä korvataan edellisellä yhtälöllä, saadaan seuraava:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Järjestämällä ehdot uudelleen saamme lopulta seuraavan:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Jälkimmäinen on juuri Keplerin kolmas laki, jonka esitimme aiemmin ja jos vertaamme suhteellisuusvakiota, se olisi \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Entä keskipakovoima?

On yleisempää, että tämäntyyppiset liikkeet puhuvat "keskipakovoimasta" keskipakovoiman sijaan. Ennen kaikkea siksi, että sen me ilmeisesti tunnemme kokeessamme tämän. Keskipakovoima on kuitenkin fiktiivinen hitausvoima.

Kuvitellaan, että ajamme autossa, joka kulkee tietyllä nopeudella ja jarruttaa äkillisesti. Kun näin tapahtuu, tunnemme voiman, joka työntää meitä eteenpäin, mutta tämä näennäinen voima, jonka tunnemme, on oman kehomme inertia, joka haluaa säilyttää liiketilan.

Kaarevassa liikkeessä keskipakovoima on sen kehon hitaus, joka haluaa säilyttää suoraviivainen liike, mutta johon kohdistuu keskipitkävoima, joka pitää sen kaarevalla reitillä.

Viitteet

David Halliday, Robert Resnick ja Jearl Walker. (2011). Fysiikan perusteet. Yhdysvallat: John Wiley & Sons, Inc.