Que sont les équations de Maxwell et comment sont-elles définies ?

Ange Zamora Ramírez | Juil. 2022
Licence en physique

Avant ces équations, on disait que les forces électriques et magnétiques étaient des "forces à distance", aucun moyen physique n'était connu au moyen duquel ce type d'interaction se produirait. Après plusieurs années de recherche sur électricité Oui magnétisme, Michael Faraday a eu l'intuition qu'il devrait y avoir quelque chose de physique dans l'espace entre les charges et les courants électriques qui leur permettrait d'interagir les unes avec les autres et de manifester toutes les phénomènes électriques et magnétiques connus, il les a d'abord qualifiés de "lignes de force", ce qui a conduit à l'idée de l'existence d'un champ électromagnétique.

S'appuyant sur l'idée de Faraday, James Clerk Maxwell développe une théorie des champs représentée par quatre équations aux dérivées partielles. Maxwell a appelé cela la "théorie électromagnétique" et a été le premier à incorporer ce type de langage mathématique dans une théorie physique. Les équations de Maxwell sous leur forme différentielle pour le vide (c'est-à-dire en l'absence de matériaux diélectriques et/ou polarisables) sont les suivantes :

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Équations de Maxwell pour le vide sous sa forme différentielle

Où \(\vec{E}~\)est le champ électrique, \(\vec{B}~\)est le champ magnétique, \(\rho ~\)est la densité de charge électrique, \(\vec{J}~~\)est un vecteur associé à un courant électrique, \({{\epsilon }_{0}}~\)est la permittivité électrique d'un vide et \({{\mu }_{0}}~~\)est la perméabilité magnétique d'un vide. Chacune de ces équations correspond à un droit de l'électromagnétisme et a un sens. Je vais brièvement expliquer chacun d'eux ci-dessous.

loi de Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Loi de Gauss pour le champ électrique

Ce que nous dit cette première équation, c'est que les charges électriques sont les sources du champ électrique, ce champ électrique « diverge » directement des charges. De plus, la direction du champ électrique est dictée par le signe de la charge électrique qui le produit, et la proximité des lignes de champ indique l'amplitude du champ lui-même. L'image ci-dessous résume un peu ce qui vient d'être évoqué.

Illustration 1. De Studiowork.- Diagramme des champs électriques générés par deux charges ponctuelles, une positive et une négative.

Cette loi doit son nom au mathématicien Johann Carl Friedrich Gauss qui l'a formulée à partir de son théorème de divergence.

Loi de Gauss pour le champ magnétique

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Loi de Gauss pour le champ magnétique

Cette loi n'a pas de nom spécifique, mais elle est appelée ainsi en raison de sa similitude avec l'équation précédente. Le sens de cette expression est qu'il n'y a pas de "charge magnétique" analogue à la "charge électrique", c'est-à-dire qu'il n'y a pas de monopôles magnétiques qui sont la source du champ magnétique. C'est la raison pour laquelle si nous cassons un aimant en deux, nous aurons toujours deux aimants similaires, tous deux avec un pôle nord et un pôle sud.

Loi de Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Loi d'induction de Faraday

C'est la fameuse loi d'induction formulée par Faraday lorsqu'en 1831 il découvrit que des champs magnétiques changeants étaient capables d'induire des courants électriques. Cette équation signifie qu'un champ magnétique qui change avec le temps est capable d'induire autour d'elle un champ électrique, qui à son tour peut provoquer le déplacement de charges électriques et créer un flux. Bien que cela puisse sembler très abstrait au premier abord, la loi de Faraday est à l'origine du fonctionnement des moteurs, des guitares électriques et des tables de cuisson à induction.

Loi d'Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

La première chose que cette équation nous dit est que les courants électriques génèrent des champs magnétiques autour de la direction du courant et que l'amplitude du champ magnétique généré dépend de l'amplitude de celui-ci, c'est ce qu'Oersted a observé et que plus tard Ampère a pu formuler. Cependant, il y a quelque chose de curieux derrière cette équation, c'est que le deuxième terme du côté droit de l'équation a été introduite par Maxwell parce que cette expression était à l'origine incohérente avec les autres, en particulier, elle conduisait à une violation de la loi de conservation de la charge électrique. Pour éviter cela, Maxwell a simplement introduit ce second terme pour que toute sa théorie soit cohérente, ce terme a reçu le nom de "courant de déplacement" et à l'époque il n'y avait aucune preuve expérimentale pour le soutenir. sauvegardera

Illustration 2. De Rumruay.- Un courant électrique circulant dans un câble génère autour de lui un champ magnétique selon la loi d'Ampère.

La signification du courant de déplacement est que, de la même manière qu'un champ magnétique variable induit un champ électrique, un champ électrique qui change avec le temps est capable de générer un champ magnétique. La première confirmation expérimentale du courant de déplacement a été la démonstration de l'existence de ondes électromagnétiques par Heinrich Hertz en 1887, plus de 20 ans après la publication de la théorie de Maxwell. Cependant, la première mesure directe du courant de déplacement a été faite par M. R Van Cauwenberghe en 1929.

la lumière est une onde électromagnétique

L'une des premières prédictions ahurissantes faites par les équations de Maxwell est l'existence de ondes électromagnétiques, mais pas seulement, ils ont également révélé que la lumière devait être une onde de ce Type. Pour voir cela un peu, nous allons jouer avec les équations de Maxwell, mais avant cela, voici la forme de n'importe quelle équation d'onde :

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Forme générale d'une équation d'onde en trois dimensions.

Où \({{\nabla }^{2}}\) est l'opérateur laplacien, \(u\) est une fonction d'onde et \(v\) est la vitesse de l'onde. Nous travaillerons également avec les équations de Maxwell dans l'espace vide, c'est-à-dire en l'absence de charges électriques et de courants électriques, uniquement des champs électriques et magnétiques :

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Et nous utiliserons également les éléments suivants identité calcul vectoriel :

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Si nous appliquons cette identité aux champs électriques et magnétiques en utilisant les équations de Maxwell pour l'espace vide ci-dessus, nous obtenons les résultats suivants :

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partiel {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partiel {{t}^{2}}}\)

Notez la similitude de ces équations avec l'équation d'onde ci-dessus, dans conclusion, les champs électriques et magnétiques peuvent se comporter comme des ondes (ondes électromagnétiques). Si nous définissons la vitesse de ces ondes comme \(c\) et comparons ces équations avec l'équation d'onde ci-dessus, nous pouvons dire que la vitesse est :

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) et \({{\epsilon }_{0}}\) sont respectivement la perméabilité magnétique et la permittivité électrique du vide, et les deux sont des constantes universels dont les valeurs sont \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) et \({{\ epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), en substituant ces valeurs, on a que la valeur de \(c\) est \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approx 300,000~km/s\) qui est exactement la vitesse du lumière.

Avec cette petite analyse, nous pouvons obtenir trois conclusions très importantes :

1) Les champs électriques et magnétiques peuvent se comporter comme des ondes, c'est-à-dire qu'il existe des ondes électromagnétiques qui sont également capables de se propager dans le vide.

2) La lumière est une onde électromagnétique dont la vitesse dépend de la perméabilité et de la permittivité magnétiques du milieu à travers lequel elle se propage, dans l'espace vide la lumière a une vitesse d'environ 300 000 km/s.

3) Puisque la perméabilité magnétique et la permittivité électrique sont des constantes universelles, alors la la vitesse de la lumière est aussi une constante universelle, mais cela implique aussi que sa valeur ne dépend pas du cadre à partir duquel il est mesuré.

Cette dernière affirmation était très controversée à l'époque. Comment est-il possible que la vitesse de la lumière est la même quel que soit le mouvement de la personne qui la mesure et le mouvement de la source lumineuse. lumière? La vitesse de quelque chose doit être relative, non? Eh bien, c'était un tournant pour la physique de l'époque et ce fait simple mais profond a conduit au développement de la théorie de la relativité restreinte par Albert Einstein en 1905.