Qu'est-ce que l'équation de Dirac et comment est-elle définie ?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) a proposé fin 1928 l'une des équations les plus importantes et implications dans la physique de l'ère actuelle, et c'est parce qu'il unifie les principes de la mécanique quantique avec ceux de relativité.

Devis (APA)

Evelyn Maitee Marin | août 2022
Ingénieur Industriel, MSc en Physique, et EdD

Cette équation peut être exprimée de plusieurs manières, la plus compacte et simplifiée étant ce qui est considéré comme l'une des équations les plus esthétiques de la science :

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Où:
i: unité imaginaire
m: masse au repos de l'électron
ħ: constante réduite de Planck
c: la rapidité de la lumière
: opérateur de sommation des dérivées partielles
: fonction d'onde mathématique de l'électron

La valeur absolue du carré de la fonction d'onde représente la probabilité pour trouver la particule dans une certaine position, compte tenu de sa énergie, la vitesse, entre autres paramètres, ainsi que sa évolution dans le temps. En d'autres termes, l'équation de Paul Dirac utilise des matrices agissant sur des vecteurs et représente une évolution de l'équation de Schrödinger en physique quantique relativiste.

L'équation de Dirac a été utilisée à l'origine pour décrire le comportement d'un électron dépourvu d'interaction, bien que son applicabilité s'étende à la description des particules subatomiques lorsqu'elles se déplacent à des vitesses proches de la vitesse de la lumière. Dirac a réussi à expliquer à l'échelle subatomique le double comportement de l'onde et de la particule qui était déjà connu à cette époque, puisqu'il a considéré les propriétés des particules telles que le moment cinétique intrinsèque ou tourner.

Une autre des contributions significatives de l'équation de Dirac est la prédiction de l'antimatière, dont l'existence a été démontrée plus tard (en 1932) par Carl D. Anderson utilisant une chambre à brouillard avec laquelle il a identifié le positron. Cela explique aussi en grande partie la structure fine identifiée dans les raies spectrales atomiques.

L'image montre la célèbre photographie prise lors de la conférence "Photons and Electrons" en 1927 où sont représentés certains des scientifiques les plus remarquables de l'histoire. Dans la circonférence céleste se trouve Paul Dirac.

Contexte de l'équation de Dirac

Afin de comprendre les considérations prises par Dirac dans l'élaboration de son équation, ainsi que les bases sur lesquelles reposait sa démarche, il est important de connaître les théories antérieures à sa maquette.

Il y a d'abord la célèbre équation de Schrödinger de la mécanique quantique, publiée en 1925, qui convertit des quantités en opérateurs quantiques. Cette équation utilise la fonction d'onde (), prenant comme point de départ l'équation classique de énergie E = p2/2m et intègre les règles de quantification pour la quantité de mouvement (p) et l'énergie (ET):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

La dérivée partielle /t exprime l'évolution du système par rapport au temps. Le premier terme entre crochets fait référence au énergie cinétique (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), tandis que le second terme se rapporte à la énergie potentielle.

Remarque: dans la théorie de la relativité d'Einstein, les variables d'espace et de temps doivent entrer de manière égale dans le équations, ce qui n'est pas le cas dans l'équation de Schrödinger, où le temps apparaît comme une dérivée, et la position comme une dérivée seconde.

Maintenant, pendant des siècles, les scientifiques ont essayé de trouver un modèle de Physique qui unifie les différentes théories, et dans le cas de L'équation de Schrödinger, prend en compte la masse (m) et la charge de l'électron, mais ne considère pas les effets relativistes qui se manifestent à haute vitesses. Pour cette raison, en 1926, les scientifiques Oskar Klein et Walter Gordon ont proposé une équation qui tient compte des principes de relativité :

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Le problème avec l'équation de Klein-Gordon est qu'elle est basée sur celle d'Einstein, dans laquelle l'énergie est au carré, donc cette équation (de Klein-Gordon) incorpore une dérivée au carré par rapport au temps, et cela implique qu'il a deux solutions, permettant des valeurs de temps négatives, et cela n'a aucun sens physique. De même, il a l'inconvénient de générer des valeurs de probabilité inférieures à zéro comme solutions.

Essayant de résoudre les incohérences impliquées par des solutions négatives de certaines grandeurs qui ne supportent pas ces résultats, Paul Dirac est parti de l'équation de Klein-Gordon pour le linéariser, et dans cette procédure, il introduit deux paramètres sous forme de matrices de dimension 4, dites matrices de Dirac ou encore matrices de Pauli, et qui sont une représentation de l'algèbre des tournoyer. Ces paramètres sont notés  et ` (dans l'équation de l'énergie, ils sont représentés par E = pc + mc2) :

Par ce qui est égalité est remplie, la condition est que ´2 = m2c4

En général, les règles de quantification conduisent à des opérations avec des dérivées qui s'appliquent aux fonctions d'onde scalaires, cependant, comme le les paramètres α et β sont des matrices 4x4, les opérateurs différentiels interviennent sur un vecteur à quatre dimensions (), appelé spineur.

L'équation de Dirac résout le problème d'énergie négative présenté par l'équation de Klein-Gordon, mais une solution d'énergie négative apparaît toujours; c'est-à-dire des particules avec des propriétés similaires à celles de l'autre solution mais avec une charge opposée, Dirac a appelé cela des antiparticules. De plus, avec l'équation de Dirac, on montre que le spin est le résultat de l'application de propriétés relativistes au monde quantique.