Quelle est la hiérarchie des opérations ?

La hiérarchie des opérations est une convention mathématique qui établit l'ordre dans lequel les actions de calcul combinées doivent être effectuées dans le même énoncé mathématique, c'est-à-dire lorsqu'il y a un énoncé mathématique où il y a des opérations mathématiques (addition, soustraction, multiplication, division, puissances et racines) combinés, ceux-ci doivent être effectués dans un ordre spécifique pour arriver à un résultat commun.

Mais pourquoi une hiérarchie est-elle nécessaire? Pour y répondre, il faut d'abord bien comprendre la nature des opérations mathématiques, qui consistent en une transformation appliquée aux éléments d'un ensemble. Pensons, par exemple, à l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire à ces nombres que nous connaissons tous. Si nous prenons un nombre a et l'ajoutons à un autre nombre b, nous obtiendrons un autre nombre c qui appartient au même ensemble de nombres réels, c'est-à-dire :

a+b = c

De plus, l'ordre dans lequel les addends sont présentés n'affecte pas le résultat final, c'est-à-dire que

a+b = b+a, cette propriété est appelée commutativité. Il est important de parler d'addition car c'est l'opération de base dont dérivent toutes les autres. Une multiplication n'est rien de plus qu'une série d'additions répétées. Si nous avons à nouveau un nombre a et que nous le multiplions par un nombre b, ce que nous faisons est parfois d'ajouter le nombre b avec lui-même, ou, alternativement, d'ajouter b fois le nombre a avec lui-même. Ce dernier est le cas puisque la multiplication est commutative comme l'addition, cela implique que: a⋅b = b⋅a. Ce qui précède peut être exprimé comme suit :

Nous pouvons facilement visualiser cela avec un exemple. Faisons la multiplication 5×2 :

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Maintenant, que se passe-t-il si nous devons effectuer une opération où nous avons combiné l'addition avec la multiplication? Par exemple: a⋅b+c. Quel est l'ordre dans lequel l'addition et la multiplication doivent être effectuées? A quelle opération doit-on privilégier? Si nous effectuons d'abord la multiplication et la développons sous forme de somme, nous aurions :

Maintenant, si nous effectuons d'abord l'addition puis la multiplication, nous obtiendrions :

Comme l'addition est commutative, on peut regrouper le membre droit de l'équation pour obtenir :

En comparant les résultats obtenus dans les deux situations, il est facile de se rendre compte que :

Nous concluons alors que l'ordre dans lequel il est décidé d'effectuer les opérations affecte le résultat obtenu. La même chose se produit lorsque nous impliquons des puissances. Lorsque nous élevons un nombre b à une puissance c, nous multiplions c par le nombre b avec lui-même, c'est-à-dire :

Nous procédons maintenant à l'opération combinée suivante impliquant la multiplication et la puissance a⋅b^c dans un ordre différent comme nous l'avons fait dans le cas précédent. Si nous donnons d'abord la priorité à la puissance, nous avons :

Maintenant, si nous effectuons d'abord la multiplication, puis la puissance, nous aurions :

Profitant de la commutativité de la multiplication, nous pouvons regrouper le côté droit de l'équation comme suit :

Là encore, on peut comparer les résultats obtenus en effectuant les opérations dans un ordre différent pour se rendre compte que :

Dans ce cas également, l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées affecte le résultat obtenu. Alors, quel est l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées? La hiérarchie des opérations établit que les puissances sont à un niveau de hiérarchie plus élevé que les multiplications, de telle sorte que les puissances ont la priorité dans un énoncé mathématique. À leur tour, les multiplications ont un niveau de hiérarchie plus élevé que les additions.

Mais qu'en est-il de la soustraction, de la division et des racines? La soustraction est l'opération inverse de l'addition, quand on soustrait un nombre b d'un nombre a on obtient un autre nombre c tel que c+b=a. Quelque chose de similaire se produit avec la division et la soustraction. Si nous divisons un nombre a par un nombre b et obtenons un nombre c comme résultat, nous avons trouvé un nombre tel que b⋅c=a. Et enfin, en calculant la racine b d'un nombre a on trouve un nombre c tel que c^b=un. Ces équivalences placent la soustraction, la division et la racine au même niveau hiérarchique que l'addition, la multiplication et la puissance, respectivement.

Pratiques des parenthèses et des crochets

Maintenant, que se passe-t-il si nous voulons donner la priorité à certaines opérations dans un énoncé mathématique quel que soit leur niveau de hiérarchie? Pour ce faire, des parenthèses et des crochets sont utilisés. Supposons que nous ayons l'énoncé du principe a⋅b+c. Avec ce que nous avons dit précédemment, nous savons déjà que nous devons d'abord effectuer la multiplication, puis l'addition. Et si nous voulions que ce ne soit pas le cas? Pour cela, il faudrait utiliser des parenthèses ou des crochets pour séparer l'addition de la multiplication et ainsi donner la priorité au calcul de l'addition en premier, soit: a⋅(b+c). Ainsi, les instructions séparées par des parenthèses et des crochets ont la priorité la plus élevée sur toutes les autres opérations.

Avec tout ce qui précède, la hiérarchie des opérations, ou l'ordre dans lequel elles doivent être effectuées, est la suivante :

1) Parenthèses et crochets
2) Pouvoirs et racines
3) Multiplications et divisions
4) Addition et soustraction

Les références

h. Behnke, F. Bachmann, K. Flatt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Picker, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Fondamentaux de Mathématiques: Tome I. Cambridge, Massachusetts et Londres: The MIT Press.