Définition de la fonction quadratique

Une fonction quadratique d'une variable réelle dont la forme est exprimée.

\(f\gauche( x \droite) = a{x^2} + bx + c\)

Où la variable est \(x\), \(a, b\) et c sont des constantes réelles, appelées coefficients de la fonction quadratique avec \(a \ne 0.\)

Le tableau présente des exemples généraux de fonctions quadratiques et la situation qu'elles peuvent modéliser, pour illustrer plus tard leur application directe à partir de problèmes réels.

Fonction quadratique	Situation que vous pouvez modéliser
\(f\gauche( x \droite) = {x^2}\)	La variable \(y\) est l'aire d'un carré dont le côté mesure \(x\).
\(f\gauche( x \droite) = \pi {x^2}\)	La variable \(y\) est l'aire d'un cercle dont le rayon est \(x\).
\(f\gauche( x \droite) = 100 – 4,9{x^2}\)	La variable \(y\) est la hauteur d'un objet qui a été lâché à une hauteur de 100 et \(x\) est le temps écoulé.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	La variable \(y\) est la hauteur d'un boulet de canon lancé à un angle de 45° avec une vitesse de 60 m/s et \(x\) est le temps écoulé. instagram story viewer

La formule générale et la fonction quadratique

Si pour \(x = \alpha \) la fonction quadratique est nulle, alors le nombre est \(\alpha \) est appelé la racine de la fonction quadratique, oui, \(\alpha \) est la solution de l'équation quadratique

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

La formule générale pour résoudre les équations quadratiques que nous avons que les racines d'une fonction quadratique sont :

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

À partir de ce qui précède, la relation suivante entre les racines et les coefficients de la fonction quadratique est établie :

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

À travers des produits remarquables, l'identité suivante est établie :

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

D'une manière similaire à celle établie dans la formule générale, il est établi que la fonction quadratique peut être exprimée sous la forme :

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Avec \(h = – \frac{b}{{2a}}\) et \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

En résolvant l'équation :

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Est obtenu:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

De ce qui précède, on peut conclure que \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), uniquement si les constantes \(k\) et \(a\) sont de de signes opposés, cette fonction quadratique a des racines réelles, qui sont: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Si les constantes \(k\) et \(a\) ont le même signe alors la fonction quadratique n'a pas de racines réelles.

Lorsque \(k = 0,\;\;\)la fonction quadratique n'a qu'une seule racine.

Exemples appliqués à la vie réelle

Exemple d'application 1: économie

Une école veut organiser un tournoi de soccer où chaque équipe affronte chacune des autres équipes une seule fois. Il y a un budget de 15 600 $ pour le coût de l'arbitrage, si le coût de l'arbitrage est de 200 $ par match. Combien d'équipes peuvent s'inscrire au tournoi ?

Énoncé du problème: nous devons trouver une fonction qui calcule le nombre de correspondances lorsque nous avons \(n\) équipes pour les compter nous ferons l'hypothèse que l'équipe 1 joue en premier avec toutes les autres, soit \(n – 1\) allumettes. L'équipe 2 jouerait désormais avec tout le reste, c'est-à-dire avec \(n – 2\), puisqu'elle aura déjà joué avec l'équipe 1. L'équipe 3 aura déjà joué avec les équipes 1 et 2, elles devront donc jouer avec les équipes n-3.

Avec le raisonnement ci-dessus, nous arrivons à :

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

La fonction de coût est :

\(C\left( n \right) = 200f\left( n \right) = 100n\left( {n – 1} \right)\)

Ayant un budget de 15 600 $, nous avons l'équation :

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\)

solution de l'équation

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Situation initiale
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Diviser chaque côté de l'équation par 100
\({n^2} – n – 156 = \) Ajouter \( – 156\) de chaque côté de l'équation
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Nous avons \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) et \( – 13 + 12 = – 1\)
C'était factorisé.
Solutions de l'équation \(n = – 12,\;13\)
Réponse: Le budget est suffisant pour que 13 équipes s'inscrivent.

Exemple d'application 2: économie

Une compagnie d'autobus de transport métropolitain a observé que, dans une journée de huit heures, chacun de ses autobus transporte en moyenne mille passagers. Pour être en mesure de donner une augmentation à vos travailleurs, vous devrez augmenter votre tarif, qui est actuellement de 5 $; Un économiste calcule que, pour chaque peso que le tarif augmente, chaque camion perdra en moyenne 40 passagers par jour. L'entreprise a calculé que pour couvrir l'augmentation de salaire, elle doit obtenir 760 $ de plus par camion chaque jour. De combien le tarif doit-il augmenter?

Énoncé du problème: Soit \(x\) le montant en pesos dans lequel le billet montera, pour lequel \(5 + x\) est le nouveau coût du billet. Avec cette même augmentation, chaque camion transportera \(1000 – 40x\) passagers par jour, en moyenne.

Enfin, le revenu par camion est:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x - 25} \droite)\)

Afin de couvrir l'augmentation de salaire, chaque bus doit percevoir: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Enfin on a l'équation:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

solution de l'équation
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Situation initiale
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Diviser par \( – 40\) chaque côté de l'équation
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Le produit remarquable a été développé
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 ont été ajoutés à chaque
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Nous avons \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ droite) = 19\) et \( – 19 – 1 = – 20\)
factorisé
Solutions de l'équation \(n = 1,19\)
Réponse: Le prix du billet peut augmenter de 1 $ ou 19 $ pesos.

Exemple d'application 3: économie

Un magasin de pain vend en moyenne 1 200 petits pains par semaine pour 6 $ chacun. Un jour, il a décidé d'augmenter le prix à 9 $ pièce; maintenant ses ventes ont diminué: elle ne vend en moyenne que 750 rouleaux par semaine. Quel doit être le prix de chaque brioche pour que le revenu du point de vente soit le plus élevé possible? Supposons qu'il existe une relation linéaire entre la demande et le prix.

Enoncé du problème: En supposant qu'il existe une relation linéaire entre la demande D et le prix \(x,\) alors

\(D = mx + b\)

Lorsque \(x = 6;D = 1200;\;\) qui génère l'équation :

\(1200 = 6m + b\)

Lorsque \(x = 9;D = 750;\;\) lo et l'équation est obtenue :

\(750 = 9m + b\)

En résolvant le système d'équations, la relation entre la demande et le prix est :

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

Le revenu est égal à

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

Solution

Le graphique du revenu dans une parabole qui s'ouvre vers le bas et sa valeur maximale est atteinte au sommet sur qui peut être trouvée en faisant la moyenne des racines de la fonction quadratique qui modélise revenu. Les racines sont \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(je\gauche( h \droite) = – 150\gauche( 7 \droite)\gauche( {7 – 14} \droite) = 7350\)

Répondre

Le revenu maximum est de 7 350 $ et est atteint avec un prix de 7 $; vendant en moyenne 1050 rouleaux par semaine.

Exemple d'application 4: économie

Le coût de fabrication de \(n\) chaises en une journée peut être calculé avec la fonction quadratique :

\(C\gauche( n \droite) = {n^2} – 200n + 13000\)

Déterminez le coût minimum qui peut être atteint.

Approche du probléme

Le graphe de \(C\left( n \right)\) est une parabole qui s'ouvre vers le haut et atteindra son point minimum à \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ gauche( { – 200} \droite)}}{{2\gauche( 1 \droite)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Répondre

Le coût le plus bas possible est égal à 3 000 $ et est obtenu en fabriquant 100 chaises.

Exemple d'application 5: Géométrie

Un losange a une aire de 21 cm2; Si la somme des longueurs de ses diagonales est de 17 cm, quelle est la longueur de chaque diagonale du losange ?

Enoncé du problème: L'aire d'un losange se calcule avec:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Avec \(D\) et \(d\) les longueurs de ses diagonales, on sait aussi :

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

En substituant vous obtenez :

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

On obtient enfin l'équation

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Solution
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Situation initiale
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multiplier par \( – 40\) chaque côté de l'équation
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Le produit a été développé.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Nous avons \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ droite) = 42\) et \( – 14 – 3 = – 17\)
factorisé
Solutions de l'équation \(d = 3,14\)
Répondre:

Les diagonales du losange mesurent 14 cm et 3 cm.

Exemple d'application 6: Géométrie

On souhaite construire un poulailler rectangulaire de 140 m2, en profitant d'une clôture assez longue qui formera le fond du poulailler. Les trois autres côtés seront construits avec 34 mètres linéaires de treillis métallique, quelle doit être la longueur et la largeur du poulailler pour utiliser le treillis total ?

Dans les mêmes conditions, quelle est la surface maximale pouvant être clôturée avec le même maillage ?

Énoncé du problème: D'après le diagramme, l'aire est égale à :

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

Où \(x\) est la longueur du côté perpendiculaire à la clôture.

Pour connaître les mesures du rectangle pour qu'il ait une aire de 140 m2, il suffit de résoudre l'équation

\(2x\gauche( {17 – x} \droite) = 140\)

Puisque le graphe de \(A\left( x \right)\) est une parabole qui s'ouvre vers le bas pour calculer la valeur maximale de l'aire, il suffit de calculer le sommet de la parabole.

Réponses
Mesures du rectangle d'une superficie de 140 m2
Longueur du côté perpendiculaire à la clôture

\(x\) Longueur du côté parallèle à la clôture

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

La première coordonnée du sommet est \(h = \frac{{17}}{2}\) et

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

L'aire est maximale lorsque le côté perpendiculaire mesure \(\frac{{17}}{2}\;\)m et le côté parallèle mesure 17m, il mesure 17m, la valeur de l'aire maximale atteinte est \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graphique d'une fonction quadratique

D'un point de vue géométrique, les racines sont les points où le graphe d'une fonction coupe l'axe \(x\).

De l'expression

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Nous allons établir la forme générale du graphe d'une fonction quadratique.

Premier cas \(a > 0\) et \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\gauche( x \droite)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h-3\)	\(9a + k\)
\(h-4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Dans ce cas, le graphe satisfait :

Symétrique: D'axe de symétrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Soit \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \droite)\)

Il est au-dessus de l'axe \(x\) et ne le coupe pas. Autrement dit, \(f\left( x \right) > 0\) n'a pas de racines réelles.

Le point le plus bas du graphique est au point \(\left( {h, k} \right)\). C'est-à-dire \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Deuxième cas \(a < 0\) et \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\gauche( x \droite)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h-3\)	\(9a + k\)
\(h-4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Dans ce cas, le graphe satisfait :

Symétrique: D'axe de symétrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Soit \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \droite)\)

Il se trouve sous l'axe \(x\) et ne l'intersecte pas. Autrement dit, \(f\left( x \right) < 0\) n'a pas de racines réelles. Le point le plus haut du graphique est au point \(\left( {h, k} \right)\). Soit \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Troisième cas \(a > 0\) et \(k \le 0\).

Ce cas est similaire au premier cas, la différence est que nous avons maintenant une vraie racine (quand \(k = 0\) ) ou deux vraies racines.

Dans ce cas, le graphe satisfait :

Symétrique: D'axe de symétrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Soit \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \droite)\)

Il coupe l'axe \(x\), c'est-à-dire qu'il a au moins une racine réelle.

Le point le plus bas du graphique est au point \(\left( {h, k} \right)\). C'est-à-dire \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Quatrième cas \(a < 0\) et \(k \ge 0\). Ce cas est similaire au second cas, la différence est que nous avons maintenant une vraie racine (quand \(k = 0\) ) ou deux vraies racines. Dans ce cas, le graphe satisfait:

Symétrique: D'axe de symétrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Soit \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \droite)\)

Le point le plus bas du graphique est au point \(\left( {h, k} \right)\). C'est-à-dire \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Le graphique d'une fonction quadratique s'appelle une parabole et ses éléments à mettre en évidence sont l'axe de symétrie, les points où il se coupe à l'axe \(x\) et au sommet, qui est le point sur le graphique de la fonction où elle atteint son point le plus bas ou le plus haut selon la cas.

Sur la base de l'analyse effectuée, nous pouvons affirmer:

La parabole associée à la fonction quadratique \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) a son sommet à \(\left( {h, k} \right)\) où :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

exemples

Fonction quadratique \(y = {x^2}\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( {0,0} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = 0\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	\(\gauche( {0,0} \droite)\)

Fonction quadratique \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( {2,0} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = 2\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	\(\gauche( {2,0} \droite)\)

Fonction quadratique \(y = {\left({x + 2} \right)^2} – 4\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( { – 2, – 4} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = – 2\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Fonction quadratique \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( {9,8} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = 9\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	\(\gauche( {5,0} \droite);\gauche( {13,0} \droite)\)

Fonction quadratique \(y = {x^2} + 1\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( {0,1} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = 0\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	Il n'a pas

Fonction quadratique \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\gauche( {2, – 1} \droite)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = 2\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	Il n'a pas

Si les racines réelles d'une fonction quadratique existent, nous pouvons tracer sa parabole associée à partir d'elles. Supposons que \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Pour cela, il faut prendre en compte :

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Comme

\(k = f\gauche( h \droite)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ bêta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

exemples

Tracez le graphique de la fonction quadratique \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Solution

Les racines sont \(\alpha = 3\;\) et \(\beta = – 6\); alors \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

On peut donc construire le tableau suivant

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	éléments importants
Sommet de la parabole	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Axe de symétrie de la parabole	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Intercepte avec l'axe \(x\)	\(\gauche( { – 6,0} \droite)\;,\;\gauche( {3,0} \droite)\)

Pour esquisser le graphique de la fonction :

\(f\gauche( x \droite) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Nous utiliserons les mêmes idées que nous avons déjà utilisées; Pour cela nous allons d'abord déterminer le sommet.

Dans ce cas, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Puisque \(a > 0\), la parabole « va s'ouvrir et \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Ensuite, nous calculerons \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Le sommet de la parabole est à \(\left({3, – 23} \right)\) et puisqu'il s'ouvre vers le haut, alors la parabole coupera l'axe \(x\;\) et son axe de symétrie est \ (x = 3\).

Considérons maintenant la fonction quadratique

\(f\gauche( x \droite) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Dans ce cas, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Puisque \(a < 0\), la parabole « s'ouvrira » vers le bas et \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Ensuite, nous calculerons \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ droite) - 9 = - 4\) Le sommet de la la parabole est à \(\left({1, - 4} \right)\) et puisqu'elle s'ouvre vers le bas, alors la parabole ne coupera pas l'axe \(x\;\) et son axe de symétrie est \(x = 1.\)