Définition de la progression géométrique

Une suite de nombres \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); On parle de progression géométrique si, à partir du second, chaque élément est obtenu à partir de la multiplication du précédent par un nombre \(r\ne 0\), c'est-à-dire si :
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Où:
- Le nombre \(r\) est appelé le rapport de la progression géométrique.
- L'élément \({{a}_{1}}\) est appelé le premier élément de la progression arithmétique.

Les éléments de la progression géométrique peuvent être exprimés en fonction du premier élément et de son rapport, c'est-à-dire :
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

Ce sont les quatre premiers éléments de la progression arithmétique; en général, le \(k-\)ème élément s'exprime comme suit :
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Lorsque \({{a}_{1}}\ne 0,~\)de l'expression précédente on obtient :

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

L'expression ci-dessus est équivalente à :

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Exemple/exercice 1. Trouvez la différence de la progression arithmétique: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​et trouvez les éléments \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Solution

Puisque \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) nous pouvons conclure que le rapport est :

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Exemple/exercice 2. Dans une progression arithmétique on a: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), déterminer le rapport de la progression géométrique et écrire les 5 premiers éléments.

Solution

Résistant

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Trouver les 5 premiers éléments de la progression arithmétique; nous allons calculer \({{a}_{1}}\) :

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Les 5 premiers éléments de la progression géométrique sont :

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\gauche( -4 \droit)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Exemple/exercice 3. Un verre fin absorbe 2% de la lumière solaire qui le traverse.

pour. Quel pourcentage de lumière passera à travers 10 de ces verres fins ?

b. Quel pourcentage de lumière passera à travers 20 de ces verres fins ?

c. Déterminer le pourcentage de lumière qui passe à travers \(n\) verres fins de mêmes caractéristiques, placés consécutivement.

Solution

Nous représenterons par 1 la lumière totale; en absorbant 2% de la lumière, puis 98% de la lumière traverse le verre.

Nous allons représenter avec \({{a}_{n}}\) le pourcentage de lumière qui traverse le verre \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \droite)}^{2}}\gauche( 0,98 \droite),\)

En général \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

pour. \({{a}_{10}}={{\left( 0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); qui nous dit qu'après que le verre 10 passe 81,707% de lumière

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); qui nous dit qu'après le verre 20 passe 66,761%

La somme des premiers \(n\) éléments d'une progression géométrique

Étant donné la progression géométrique \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Lorsque \(r\ne 1\) est la somme des premiers éléments \(n\), la somme :

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Il peut être calculé avec

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Exemple/exercice 4. A partir de l'exemple 2, calculez \({{S}_{33}}\).

Solution

Dans ce cas \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) et \(r=-4\)

appliquer

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\gauche( -4 \droite)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Exemple/exercice 5. Supposons qu'une personne télécharge une photo de son animal de compagnie et la partage avec 3 de ses amis sur un réseau social Internet, et en une heure chacun de eux, partage la photo avec trois autres personnes puis ces dernières, en une heure de plus, chacun partage la photo avec 3 autres personnes; Et ainsi de suite; chaque personne qui reçoit la photographie la partage avec 3 autres personnes en moins d'une heure. En 15 heures, combien de personnes ont déjà la photo ?

Solution

Le tableau suivant montre les premiers calculs
Temps Personnes qui reçoivent la photo Personnes qui ont la photo
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Le nombre de personnes qui reçoivent la photo en heure \(n\) est égal à: \({{3}^{n}}\)

Le nombre de personnes qui ont déjà la photo dans l'heure est égal à :

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

appliquer

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Avec \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) et \(n=15\)

Par lequel:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

moyens géométriques

Étant donné deux nombres \(a~\) et \(b,\) les nombres \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) sont appelées \(k\) moyennes géométriques des nombres \(a~\) et \(b\); si la séquence \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) est une progression géométrique.

Pour connaître les valeurs de \(k\) moyennes géométriques des nombres \(a~\) et \(b\), il suffit de connaître le rapport de la progression arithmétique, pour cela il faut considérer :

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

A partir de ce qui précède, nous établissons la relation :

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

En résolvant pour \(d\), on obtient :

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Exemple/exercice 6. Trouvez 2 moyennes géométriques entre les nombres -15 et 1875.

Solution

Lors de l'application

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

avec \(b=375,~a=-15\) et \(k=2~\) :

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Les 3 moyennes géométriques sont :

\(75,-375\)

Exemple/exercice 7. Une personne a investi de l'argent et a reçu des intérêts tous les mois pendant 6 mois et son capital a augmenté de 10 %. En supposant que le taux n'a pas changé, quel était le taux d'intérêt mensuel ?

Solution

Soit \(C\) le capital investi; le capital final est \(1.1C\); Pour résoudre le problème il faut placer 5 moyennes géométriques, en appliquant la formule :

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Avec \(k=5,~b=1.1C\) et \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Le taux mensuel reçu était de \(1,6 %\)