Définition des fractions mixtes, unitaires, homogènes et hétérogènes

Mixte. Une fraction mixte est composée d'un entier supérieur ou égal à un et d'une fraction propre, l'orthographe générale d'une fraction mixte est de la forme: \(a + \frac{c}{d},\) dont l'écriture compacte est: \(a\frac{c}{d},\;\), soit: \(a\ fraction{c}{d} = une + \frac{c}{d}\). Le nombre \(a\) est appelé la partie entière de la fraction mixte et \(\frac{c}{d}\) est appelé sa partie fractionnaire.

homogène. Si deux fractions ou plus ont le même dénominateur, on dit qu'elles sont comme des fractions. Par exemple, les fractions \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) sont homogènes car ils ont tous le même dénominateur, qui dans ce cas est \(4\). Alors que les fractions \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) ne sont pas fractions homogènes puisque le dénominateur de \(\frac{5}{2}\) est \(2\) et le dénominateur des autres fractions est \(4\). L'un des avantages des fractions homogènes est que les opérations arithmétiques d'addition et de soustraction de fonctions sont très simples.

hétérogène. Si deux ou plusieurs fractions, au moins deux d'entre elles n'ont pas le même dénominateur, alors ces fractions sont dites hétérogènes. Les fractions suivantes sont hétérogènes: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

unitaire. Une fraction est identifiée comme une unité si le numérateur est égal à 1 \(1,\) \(2\). Les fractions suivantes sont des exemples de fractions unitaires: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Expression verbale d'une fraction mixte

fraction mixte	Expression verbale
\(3\frac{1}{2} = \)	Trois et demi entier
\(5\frac{3}{4} = \)	Cinq entiers et trois quarts
\(10\frac{1}{8} = \)	Dix entiers avec un huitième

Conversion d'une fraction mixte en une fraction impropre

Les fractions mixtes sont utiles pour l'estimation, par exemple, il est facile d'établir :

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Cependant, les fractions mixtes ne sont généralement pas pratiques pour effectuer des opérations telles que la multiplication et la division, c'est pourquoi il est important de convertir en fraction mixte.

La figure précédente représente la fraction mixte \(2\frac{3}{4}\), maintenant chaque entier est composé de quatre quarts, donc dans 2 entiers il y a 8 quarts et à ceux-ci il faut ajouter les 3 autres quarts, c'est-à-dire dire:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

De manière générale:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Le tableau suivant montre d'autres exemples.

fraction mixte	Opérations à effectuer	fraction impropre
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\gauche( 2 \droite) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Conversion d'une fraction impropre en fraction mixte

Pour convertir une fraction impropre en fraction mixte, calculez le quotient et le reste de la division du numérateur par le dénominateur. Le quotient obtenu sera la partie entière de la fraction mixte et la fraction propre sera \(\frac{{{\rm{reste}}}}{{{\rm{dénominateur}}}}\)

Exemple

Pour convertir \(\frac{{25}}{7}\) en une fraction mixte :

Pour les opérations effectuées on obtient :

Le tableau ci-dessous montre d'autres exemples.

fraction impropre	Calcul du quotient et du reste	fraction impropre
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Utilisation quotidienne des fractions mixtes et propres

Dans la vie de tous les jours, nous devons mesurer, acheter, comparer les prix, proposer des réductions; pour mesurer, nous avons besoin d'unités de mesure et ils n'offrent pas toujours des unités entières de produits et vous ne payez pas toujours avec une quantité entière de pièces d'une unité.

Par exemple, il est courant que certains liquides soient vendus dans des contenants dont le contenu est \(\frac{3}{4}\;\) d'un litre, d'un demi-gallon ou d'un gallon et demi. Peut-être que lorsque vous allez acheter un tube, vous demandez \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) et vous n'avez pas besoin de dire l'unité de mesure, qui dans ce cas est le pouce.

Opérations de base sur des fractions similaires

La somme de \(\frac{3}{4}\) et \(\frac{2}{4}\) est illustrée dans le schéma suivant :

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Alors que la soustraction se fait comme suit :

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

En général, pour des fractions homogènes :

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Les Égyptiens et les fractions unitaires

La culture égyptienne a atteint un développement technologique remarquable et cela ne serait pas arrivé sans un développement au même niveau que les mathématiques. Il existe des vestiges historiques où l'on peut trouver des traces de l'utilisation des fractions dans la culture égyptienne, avec une particularité, elles n'utilisaient que des fractions unitaires.

Il existe plusieurs cas où écrire une fraction sous la forme d'une somme de fractions unitaires est aussi simple que

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Dans le cas où \(n = 2q + 1\), c'est-à-dire impair, on a que :

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Nous allons illustrer cela par deux exemples.

Pour exprimer \(\frac{2}{{11}}\); dans ce cas on a \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), donc :

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

c'est-à-dire,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Pour exprimer \(\frac{2}{{17}}\); dans ce cas on a \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Ensuite, nous montrons certaines fractions sous forme de somme de fractions unitaires,

Fraction	Expression sous forme de somme de fractions unitaires	Fraction	Expression sous forme de somme de fractions unitaires
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

En utilisant le tableau précédent, nous pouvons additionner des fractions et exprimer de telles sommes; comme une somme de fractions unitaires.

Exemples de fractions hétérogènes

Exemple 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Exemple 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Enfin, nous pouvons exprimer la même fraction comme une somme de fractions unitaires d'une manière différente comme :

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)