Définition des fractions équivalentes

Deux ou plusieurs fractions sont dites équivalentes si elles représentent la même quantité, c'est-à-dire si
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
les fractions \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\) sont dites équivalentes.

Fractions équivalentes: représentation graphique

Considérez le carré, que nous diviserons en quarts, tiers, huitièmes et douzièmes.

D'après les figures précédentes, nous remarquons les équivalences suivantes :

Comment obtenir une ou plusieurs fractions équivalentes ?

Il existe deux méthodes de base pour obtenir une fraction équivalente à une fraction donnée.

1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre positif.

Exemples:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Il est divisé par le même diviseur commun positif du numérateur et du dénominateur.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Lorsque, dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont divisés par le même diviseur commun autre que 1, on dit que la fraction a été réduite.

fractions irréductibles

Une fraction est dite irréductible si le plus grand commun diviseur du numérateur et du dénominateur est égal à 1.

Si \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) la fraction \(\frac{a}{b}\) est appelée fraction irréductible.

Soit une fraction \(\frac{a}{b}\) pour obtenir une fraction équivalente à cette fraction et qui soit aussi une fraction irréductible le numérateur et le numérateur sont divisés par le plus grand commun diviseur de \(a\;\) et de \(b.\)

Le tableau suivant montre des exemples de fractions irréductibles et réductibles; s'il est réductible, il montre comment obtenir une fraction équivalente irréductible.

Fraction	Plus grand diviseur commun	Irréductible	fraction équivalente irréductible
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Non	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ouais	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Non	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ouais	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Non	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Fractions équivalentes: représentation verbale.

Le tableau suivant montre deux manières différentes d'afficher des informations équivalentes, du point de vue numérique.

Phrase verbale	Phrase équivalente (numériquement)	Argumentation
En 1930, au Mexique, 4 personnes sur 25 parlaient une langue maternelle.	En 1930, au Mexique, 16 personnes sur 100 parlaient une langue maternelle.	Les deux données ont été multipliées par 4
En 1960, au Mexique, 104 personnes sur 1 000 parlaient une langue maternelle.	En 1960, au Mexique, 13 personnes sur 125 parlaient une langue maternelle	Les deux données ont été divisées par 8.

Fractions équivalentes: représentation décimale

Le tableau ci-dessous montre divers nombres décimaux et les fractions équivalentes qui les représentent.

Nombre décimal	Fraction	fraction équivalente	Opérations
\(0.25\)	0.25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0.25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Fractions équivalentes: représentation en pourcentage

Le tableau ci-dessous montre divers nombres décimaux et les fractions équivalentes qui les représentent.

Nombre décimal	Fraction	fraction équivalente	Opérations
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Fractions équivalentes: d'hétérogène à homogène

Étant donné deux fractions hétérogènes \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\), on peut trouver deux fractions homogène de telle sorte qu'une fraction équivaut à la fraction \(\frac{a}{b}\;\) et l'autre à \(\frac{c}{d}\).

Ensuite, nous allons montrer deux procédures pour effectuer ce qui est mentionné dans le paragraphe précédent.

Observons:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Le tableau suivant montre quelques exemples.

F. hétérogène	Opérations	F. homogène
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

L'inconvénient de cette méthode est que de très grands nombres peuvent être produits dans le processus; Dans de nombreux cas, il est possible de l'éviter si le plus petit commun multiple des dénominateurs est calculé et que la deuxième méthode est basée sur le calcul du plus petit commun multiple.

Plus petit commun multiple dans le calcul des fractions

Ensuite, à travers deux exemples, comment obtenir des fractions homogènes en utilisant le plus petit commun multiple des dénominateurs, qui sera le dénominateur commun des fractions concernées.

Considérez les fractions: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Le plus petit commun multiple de \(12\) et \(18\) est \(36\); maintenant

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Considérons maintenant les fractions: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Le plus petit commun multiple de \(10\), \(14\) et \(3\) est \(140\); maintenant

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

D'après les figures précédentes, nous remarquons le fait suivant:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Voici d'autres exemples.

F. hétérogène	min dénominateurs communs	Opérations	F. homogène
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)