Comment est défini le théorème de Thales ?

D'après le théorème de Thales, étant donné plusieurs droites parallèles, la droite \(T\) est dite transversale aux droites parallèles si elle coupe chacune des droites parallèles.

Dans la figure 1, les droites \({T_1}\) et \({T_2}\) sont transversales aux droites parallèles \({L_1}\) et \({L_2}.\)

Théorème de Thales (version faible)
Si plusieurs parallèles déterminent des segments congruents (qui mesurent la même chose) dans l'une de leurs deux droites transversales, elles détermineront également des segments congruents dans les autres transversales.

Dans la figure 2, les lignes noires sont parallèles et il faut:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Nous pouvons assurer ce qui suit:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

On dit que le sage Thalès de Milet a mesuré la hauteur de la pyramide de Khéops, pour cela il a utilisé les ombres et l'application des propriétés de similarité des triangles. Le théorème de Thales est fondamental pour le développement du concept de similarité des triangles.

Rapports et propriétés des proportions

Un rapport est le quotient de deux nombres, avec le diviseur différent de zéro; c'est-à-dire:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{avec\;}}b \ne 0\)

Une proportion est l'égalité de deux rapports, c'est-à-dire :

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) est aussi appelée la constante de proportionnalité.

Propriétés des proportions

Si \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) alors pour \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

exemples

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Le couple de segments \(\overline {AB} \) et \(\overline {CD} \) est dit proportionnel aux segments \(\overline {EF} \) et \(\overline {GH} \) si la proportion est remplie :

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Où \(AB\;\) désigne la longueur du segment \(\overline {AB} .\)

Théorème de Thalès

Pour en revenir à la définition, plusieurs parallèles déterminent des segments correspondants proportionnels dans leurs lignes transversales.

Sur la figure 3, les droites sont parallèles et on peut assurer :

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Notons que les deux premières proportions précédentes sont équivalentes aux proportions suivantes :

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Ci-dessus on a:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

À de nombreuses reprises, il est préférable de travailler avec les proportions précédentes et dans ce cas :

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Réciproque du théorème de Thales

Si plusieurs lignes déterminent des segments correspondants proportionnels dans leurs lignes transversales alors les lignes sont parallèles

Si dans la figure 4 il est rempli

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Alors on peut affirmer que: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

La notation \({L_1}\parallel {L_2}\), lire \({L_1}\) est parallèle à \({L_2}\).

De la proportion précédente, nous obtenons :

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Division d'un segment en plusieurs parties de même longueur

A travers un exemple concret nous allons illustrer comment diviser un segment en parties de longueur égale.

Divisez le segment \(\overline {AB} \) en 7 segments de longueur égale

Situation initiale

Tracez une ligne auxiliaire qui passe par l'une des extrémités du segment

A l'aide d'un compas, 7 segments de longueur égale sont dessinés sur la ligne auxiliaire

Tracez la ligne qui joint les extrémités du dernier segment tracé et l'autre extrémité du segment à diviser

Ils sont tracés parallèlement à la dernière ligne qui vient d'être tracée et qui passe par les points d'intersection des arcs de circonférence avec la ligne auxiliaire.

Étant donné un segment \(\overline {AB} \), on dit qu'un point \(P\) du segment divise le segment \(\overline {AB} \), dans le rapport \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Division d'un segment dans un rapport donné

Soit un segment \(\overline {AB} \), et deux entiers positifs \(a, b\); le point \(P\) qui divise le segment dans le rapport \(\frac{a}{b};\;\) peut être trouvé comme suit :

1. Divisez le segment \(\overline {AB} \) en segments \(a + b\) de longueur égale.
2. Prenez \(a\) segments à partir du point \(A\).

exemples

Division du segment \(\overline {AB} \) dans le rapport \(\frac{a}{b}\)

Raison	Nombre de parties dans lesquelles le segment est divisé	Emplacement du point \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Exemples appliqués du théorème de Thales

demande 1: Trois lots s'étendent de la rue Sol à la rue Luna, tel qu'illustré à la figure 5.

Les limites latérales sont des segments perpendiculaires à la rue Luna. Si la façade totale des lots sur la rue Sol mesure 120 mètres, déterminer la façade de chaque lot sur ladite rue, si elle est aussi connue :

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Approche du probléme

Puisque les lignes sont perpendiculaires à Luna Street, alors elles sont parallèles entre elles, en appliquant le théorème de Thales nous pouvons affirmer :

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)De ce qui précède on peut conclure:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

De même on peut conclure :

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Solution

Pour déterminer la constante de proportionnalité \(k,\) nous allons utiliser les propriétés des proportions :

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

De ce qui précède, nous obtenons:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\gauche( {10} \droite) = 12.\)

Analogiquement:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Répondre

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Longueur	12m	48m	24m	36m

demande 2: Un graphiste a conçu une étagère en forme de parallélogramme et placera 3 étagères comme indiqué sur le Figure 6, les points E et F sont les milieux des côtés \(\overline {AD} \) et \(\overline {BC} ,\) respectivement. Il faut faire des découpes dans les étagères pour pouvoir faire les assemblages. Dans quelle partie des étagères faut-il faire les découpes ?

Énoncé du problème: En raison des conditions données dans le problème, les éléments suivants sont remplis :

\(ED = EA = CF = BF\)

Comme constructions auxiliaires, nous étendrons les côtés \(\overline {CB} \) et \(\overline {DA} \). Une ligne est tracée passant par le point A passant par \(A\) et parallèle au côté \(\overline {EB} \) et passant par le point \(C\;\) une ligne est tracée parallèlement au côté \(\overline {DF} \).

Nous allons utiliser la réciproque du théorème de Thales pour montrer que les segments \(\overline {EB} \) et \(\overline {DF} \) sont parallèles afin d'appliquer le théorème de Thales.

Solution

Par construction le quadrilatère \(EAIB\) est un parallélogramme donc on a que EA=BI, puisque ce sont des côtés opposés d'un parallélogramme. Maintenant:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

En appliquant l'inverse de l'inverse du théorème de Thales, nous pouvons conclure :

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

En prenant les segments \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) et les segments BC et CI comme leurs transversales; comme:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

En prenant \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) et les segments \(\overline {AC} \) et \(\overline {EB} \) comme leurs transversales nous aurons :

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left({AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

De même, il est montré que :

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Réponses

Des coupes diagonales \(\overline {AC} \) doivent être faites aux points \(G\;\) et \(H\), telles que:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Il en est de même pour les étagères \(\overline {EB} \) et \(\overline {DF} \).