Définition de la rationalisation des radicaux (mathématiques)

La rationalisation des radicaux est un processus mathématique qui est effectué lorsqu'il y a un quotient avec des radicaux ou des racines dans le dénominateur. De cette manière, les opérations mathématiques peuvent être facilitées lorsque des quotients avec des radicaux et d'autres types d'objets mathématiques sont impliqués.

Types de quotients avec des radicaux

Il est important de mentionner certains types de quotients avec des radicaux qui peuvent être rationalisés. Cependant, avant d'entrer pleinement dans le processus de rationalisation, quelques concepts importants doivent être rappelés. Supposons d'abord que nous ayons l'expression suivante: \(\sqrt[m]{n}\). C'est la racine \(m\) du nombre \(n\), c'est-à-dire que le résultat de ladite opération est un nombre tel que l'élever à la puissance \(m\) nous donne le nombre \(n\) en conséquence). La puissance et la racine sont des opérations inverses, de sorte que: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
D'autre part, il convient de mentionner que le produit de deux racines égales est égal à la racine du produit, c'est-à-dire que: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Ces deux propriétés vont être nos meilleurs alliés lors de la rationalisation.

Le type de quotient avec un radical le plus courant et le plus simple que nous puissions trouver est le suivant :

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Où \(a\), \(b\) et \(c\) peuvent être n'importe quel nombre réel. Le processus de rationalisation dans ce cas consiste à trouver un moyen d'obtenir dans le quotient l'expression \(\sqrt {{c^2}} = c\) pour s'affranchir du radical. Dans ce cas, il suffit de multiplier par \(\sqrt c \) à la fois le numérateur et le dénominateur :

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

En se souvenant de ce qui a été mentionné ci-dessus, nous savons que \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). On obtient donc finalement que :
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Nous avons ainsi rationalisé l'expression précédente. Cette expression n'est rien d'autre qu'un cas particulier d'une expression générale qui est la suivante :

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Où \(a\), \(b\), \(c\) sont des nombres réels quelconques et \(n\), \(m\) sont des puissances positives. La rationalisation de cette expression est basée sur le même principe que la précédente, c'est-à-dire obtenir l'expression \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) au dénominateur. Nous pouvons y parvenir en multipliant par \(\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}\) le numérateur et le dénominateur :

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n - m}}}}}}\)

On peut développer le produit des radicaux au dénominateur comme suit: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Par conséquent, le quotient rationalisé reste comme suit :

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Un autre type de quotient à radicaux qui peut être rationalisé est celui dans lequel on a un binôme avec des racines carrées au dénominateur :

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\;\) sont des nombres réels. Le symbole \( ± \) indique que le signe peut être positif ou négatif. Le binôme dénominateur peut avoir les deux racines ou une seule, cependant, nous utilisons ce cas pour obtenir un résultat plus général. L'idée centrale pour mener à bien le processus de rationalisation dans ce cas est la même que dans les cas précédents, sauf que dans ce cas nous multiplierons à la fois le numérateur et le dénominateur par le conjugué du binôme trouvé dans le dénominateur. Le conjugué d'un binôme est un binôme qui a les mêmes termes, mais dont le symbole central est opposé au binôme d'origine. Par exemple, le conjugué du binôme \(ux + vy\) est \(ux – vy\). Ceci étant dit, nous avons alors :

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Le symbole \( \mp \) indique que le signe peut être positif ou négatif, mais il doit être opposé au symbole du dénominateur pour que les binômes soient conjugués. En développant la multiplication des binômes du dénominateur on obtient que :

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Finalement on obtient ça :

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Avec cela, nous avons rationalisé le quotient avec radical. Ces quotients avec des radicaux sont ceux qui peuvent généralement être rationalisés. Ensuite, nous verrons quelques exemples de rationalisation de radicaux.

exemples

Regardons quelques exemples de rationalisation avec des quotients avec des radicaux du type mentionné ci-dessus. Supposons d'abord que nous ayons le quotient suivant :

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Dans ce cas il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Supposons maintenant que nous ayons le quotient suivant avec radical :

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Dans ce cas, nous avons une sixième racine d'une puissance cubique. Dans la section précédente, nous avons mentionné que si nous avons un radical de la forme \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) dans le dénominateur, nous pouvons rationaliser le quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). En comparant cela avec le cas présenté ici, nous pouvons réaliser que \(n = 6\), \(c = 4\) et \(m = 3\), donc Par conséquent, nous pouvons rationaliser le quotient précédent en multipliant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\) :

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Supposons enfin que nous ayons la fonction suivante :

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Comme indiqué dans la section précédente, pour rationaliser ce type de quotient avec des radicaux, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Dans ce cas, le conjugué du dénominateur serait \(x – \sqrt x \). L'expression serait donc la suivante :

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

En développant la multiplication des binômes conjugués du dénominateur, on obtient finalement que :

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Les références

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Arithmétique. Mexique: Pearson Education.