Définition du principe/équation de Bernoulli

Le principe de Bernoulli, souvent aussi appelé équation de Bernoulli, est l'un des concepts les plus importants en hydrodynamique et en mécanique des fluides. Il a été formulé par le physicien et mathématicien suisse Daniel Bernoulli en 1738 dans le cadre de son travail "hydrodynamique» et une partie de la conservation de l'énergie dans un fluide idéal en mouvement.

Imaginons la situation suivante: Nous avons un tuyau à travers lequel l'eau s'écoule, qui sort du tuyau avec une certaine vitesse et une certaine pression. Ensuite, nous procédons à couvrir partiellement le trou de sortie du tuyau avec un doigt; en faisant cela, nous voyons comment l'eau sort maintenant avec une plus grande vitesse. Ceci est un exemple du principe de Bernoulli en action.

Fluides idéaux en mouvement

Le principe de Bernoulli s'applique aux fluides idéaux en mouvement, donc avant d'expliquer ce principe, il est important de mentionner ce que nous entendons par fluide idéal. Un fluide idéal est une simplification d'un fluide réel, cela se fait parce que la description d'un fluide l'idéal est mathématiquement plus simple et nous donne des résultats utiles qui peuvent ensuite être étendus au cas fluide réel.

Il y a quatre hypothèses qui sont faites pour considérer qu'un fluide est idéal et toutes ont à voir avec le débit :

• Écoulement constant: Un écoulement constant est un écoulement dans lequel la vitesse à laquelle le fluide se déplace est la même en tout point de l'espace. En d'autres termes, on suppose que le fluide ne subit pas de turbulence.

• Incompressibilité: On suppose également qu'un fluide idéal est incompressible, c'est-à-dire qu'il a une masse volumique constante à tout instant.

• Non-viscosité: La viscosité est une propriété des fluides qui, de manière générale, représente la résistance que le fluide oppose au mouvement. La viscosité peut être considérée comme analogue au frottement mécanique.

• Écoulement irrotationnel: Avec cette hypothèse, nous nous référons au fait que le fluide en mouvement n'effectue aucun type de mouvement circulaire autour d'un point quelconque de sa trajectoire.

En faisant ces hypothèses et en ayant un fluide idéal, nous simplifions grandement le traitement mathématique et nous assurons également la conservation de l'énergie, qui est le point de départ vers le principe de Bernoulli.

L'équation de Bernoulli expliquée

Considérons un fluide idéal se déplaçant dans un tuyau comme le montre la figure suivante :

Nous allons maintenant utiliser le théorème du travail et de l'énergie cinétique, qui est une autre façon d'exprimer la loi de conservation de l'énergie, cela nous dit que :

\(W = {\rm{\Delta}}K\)

Où \(W\) est le travail mécanique total et \({\rm{\Delta }}K\) est la variation d'énergie cinétique entre deux points. Dans ce système, nous avons deux types de travail mécanique, l'un qui est effectué par la force de gravité sur le fluide et l'autre qui résulte de la pression du fluide. Soit \({W_g}\) le travail mécanique effectué par la gravité et \({W_p}\) le travail mécanique effectué par la pression, on peut alors dire que:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta}}K\)

Puisque la gravité est une force conservatrice, le travail mécanique effectué par celle-ci sera égal à la différence d'énergie potentielle gravitationnelle entre deux points. La hauteur initiale à laquelle se trouve le fluide est \({y_1}\) et la hauteur finale est \({y_2}\), nous avons donc :

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Où \({\rm{\Delta }}m\) est la portion de masse de fluide qui passe par un certain point et \(g\) est l'accélération due à la gravité. Puisque le fluide idéal est incompressible, alors \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Où \(\rho \) est la densité du fluide et \({\rm{\Delta }}V\) est la portion de volume qui traverse un point. En remplaçant cela dans l'équation ci-dessus, nous obtenons:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Considérons maintenant le travail mécanique effectué par la pression du fluide. La pression est la force exercée par unité de surface, c'est-à-dire \(F = PA\). D'autre part, le travail mécanique est défini comme \(W = F{\rm{\Delta }}x\) où \(F\) est la force appliquée et \({\rm{\Delta }}x\) est le déplacement effectué dans ce cas sur l'axe des abscisses. Dans ce contexte, nous pouvons considérer \({\rm{\Delta }}x\) comme la longueur de la portion de fluide qui traverse un certain point. En combinant les deux équations, nous avons que \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Nous pouvons réaliser que \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), c'est-à-dire que c'est la portion de volume qui passe par ledit point. Par conséquent, nous avons que \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Au point initial, un travail mécanique est effectué sur le système égal à \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) et au point final, le système effectue un travail mécanique sur l'environnement égal à \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Le travail mécanique dû à la pression du fluide sera alors le travail effectué sur le système moins le travail qu'il effectue sur son environnement, c'est-à-dire que :

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta}}V\)

Enfin, la différence d'énergie cinétique \({\rm{\Delta }}K\) sera égale à l'énergie cinétique au point final moins l'énergie cinétique au point de départ. C'est-à-dire:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

D'après ce qui précède, nous savons que \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). L'équation ci-dessus est alors la suivante :

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

En remplaçant tous les résultats obtenus dans l'équation de conservation de l'énergie, on obtient que :

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta}}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Nous pouvons factoriser le terme \({\rm{\Delta }}V\) des deux côtés de l'équation, cela conduit à :

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \droite)\)

Développer les produits manquants nous devons :

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

En réarrangeant tous les termes des deux côtés de l'équation, nous obtenons que :

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Cette équation est une relation entre l'état initial et l'état final de notre système. On peut enfin dire que :

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = constante\)

Cette dernière équation est l'équation de Bernoulli dont dérive son principe. Le principe de Bernoulli est une loi de conservation d'un fluide idéal en mouvement.

Les références

David Halliday, Robert Resnick et Jearl Walker. (2011). Fondamentaux de la Physique. États-Unis: John Wiley & Sons, Inc.