Exemple de plus petit commun multiple

Le plus petit multiple commun, représenté par l'acronyme m.c.m., de deux nombres ou plus est le plus petit des multiples communs desdits nombres, autre que zéro. Le moyen le plus simple de trouver le m.c.m. de deux nombres ou plus consiste à décomposer chacun des nombres en ses facteurs premiers. Ainsi, le plus petit commun multiple est égal au produit de tous les facteurs communs et non communs avec leur plus grand exposant. Nous analysons l'exemple suivant de plus petit commun multiple afin de clarifier l'idée :
1) Qu'il y ait deux navires qui partent ensemble de Mexico. L'un repartira dans les douze (12) jours et l'autre dans les quarante (40) jours. La question est, combien de jours faudra-t-il pour que les deux navires partent ensemble ?
Dans cet exemple, ce que nous devons faire est de trouver le plus petit commun multiple de 12 et 40. Pour ce faire, nous décomposons chacun de ces nombres en ses facteurs premiers.
Nombre de facteurs premiers
12 2
6 2
3 3
1
Nombre de facteurs premiers
40 2
20 2

10 2
5 5
1
Dans l'exemple, décomposer un nombre en ses facteurs premiers revient à diviser chacun d'eux par le plus petit nombre premier qui le divise exactement. Nous arrivons donc aux conclusions suivantes :
12 = 2 x 2 x 3, ou ce qui revient au même 12 = 2 au carré (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, ou ce qui revient au même 40 = 2 au cube (3) x5
Le multiple le moins commun est le produit des facteurs communs et peu communs avec leur plus grand exposant, c'est-à-dire le m.c.m. de 12 et 40 = 2 relevés au cube x 3 x 5, m.c.m de 12 et 40 = 120, donc la bonne réponse pour cet exemple est que les navires sortiront ensemble dans les 120 jours.

Un autre exemple de plus petit commun multiple :

2) Deux cyclistes professionnels disputent une compétition sur la piste d'un vélodrome. Le premier met 32 ​​secondes pour boucler un tour complet et le second 48 secondes. À quelle fréquence en secondes se rencontreront-ils au point de départ ?
L'exemple est similaire au précédent, nous devons donc décomposer 32 et 48 en leurs facteurs premiers.
Nombre de facteurs premiers
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Nombre de facteurs premiers
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Donc 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 soit 32 = 2 élevé au cinquième (5) et 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 soit 48 = 2 élevé au quatrième (4) x 3 .
Puisque le plus petit commun multiple est égal au producteur des facteurs commun et peu commun avec leur plus grand exposant, nous avons que le m.c.m de 32 et 48 = 2 élevé au cinquième x 3. Le plus petit commun multiple de 32 et 48 = 96, donc la réponse à cet exemple est que les deux cyclistes se retrouveront au point de départ à 96 secondes.
3) Dans une maison bancaire, les alarmes de sécurité sont programmées efficacement. Le premier sonnera toutes les 10 secondes, le second toutes les 15 secondes et le dernier toutes les 20 secondes. Combien de secondes les alarmes se déclencheront-elles ensemble ?
Le raisonnement est similaire à celui des exemples précédents, il faut calculer le plus petit commun multiple de 10, 15 et 20. Pour cela nous effectuons la décomposition en facteurs premiers des trois nombres.
Nombre de facteurs premiers
10 2
5 5
1
Nombre de facteurs premiers
15 3
5 5
1
Nombre de facteurs premiers
20 2
10 2
5 5
1
On a que 10 = 2 x 5, que 15 = 3 x 5 et que 20 = 2 au carré (2) x 5. Le plus petit commun multiple de 10, 15 et 20 = 2 au carré (2) x 3 x 5 = 60. La réponse à cet exemple est que les trois alarmes sonneront ensemble à 60 secondes (une minute).
Rappelez-vous que les nombres premiers sont les nombres qui ne sont divisibles qu'entre l'unité (1) et eux-mêmes.