Exemple de propriété distributive

La propriété distributive est une propriété de multiplication qui nous dit que si nous multiplions un nombre par un autre, le résultat est comme si on multipliait le premier nombre par l'addition ou la soustraction qui donne le second le numéro.

Pour exprimer une multiplication avec une propriété distributive, nous utilisons les parenthèses.

Par exemple, si nous avons la multiplication :

6 X 9 = 54

Nous savons que le nombre 9 est le résultat de l'addition de 5 + 4. En appliquant la propriété distributive, la multiplication sera exprimée comme ceci :

6(5+4)

Cela signifie que nous multiplierons le nombre 6 par chacun des membres de la somme, puis nous effectuerons la somme :

6 (5 + 4) = (6X5) + (6X4) = 30 + 24 = 54

Et comment nous voyons, nous obtenons le même résultat. La propriété distributive s'applique également à la soustraction :

6 (10–1) = (6X10) - (6X1) = 60 - 6 = 54

Cette propriété distributive est également utilisée pour obtenir le produit de deux additions ou soustractions, ou d'une addition et d'une soustraction. Dans ces cas, chacun des membres de la première opération est multiplié par chacun des membres de la deuxième opération, puis les opérations sont effectuées :

(5 + 2) (3 + 4) = (5X3) + (5X4) + (2X3) + (2X4) = 15 + 20 + 6 + 8 = 49

Effectuer les opérations des parenthèses en premier: 7 X 7 = 49

(7–3) (6–2) = (7X6) + (7X – 2) + (- 3X6) + (- 3X – 2) = 42–14–18 + 6 = 16

Effectuer d'abord les opérations des parenthèses: 4 X 4 = 16

La propriété distributive est utile notamment pour le calcul de très grands nombres, ainsi qu'en algèbre.

Si nous avons un nombre complexe, tel que 5648, et que nous voulons le multiplier par 8, nous pouvons décomposer 5648 en notation décimale, multiplier les composants par 8, puis faire l'addition :

8 (5000 + 600 + 40 + 8) = (8X5000) + (8X600) + (8X40) + (8X8) = 40000 + 4800 + 320 + 16 = 45136.

En algèbre, de nombreuses valeurs numériques sont remplacées par des valeurs littérales (exprimées avec des lettres), ainsi que des valeurs avec des exposants, et ici la propriété distributive est très utile. Les mêmes règles que nous avons déjà expliquées sont suivies :

(a + 3ab + c) (b – 2) = (ab) + (- 2a) + (3ab²) + (- 6ab) + (bc) + (- 2c) = [Nous ordonnons et réduisons les signes] –2a + ab – 6ab + 3ab²+ bc – 2c = –2a – 5ab + 3ab²+ bc – 2c [notez que nous avons réduit les termes communs que le littéral ab a]

Exemples de propriété distributive :

Sergio a 7 tirelires, et dans chacune d'elles il a déposé le même nombre de pièces et de billets. Dans chacun il a mis 3 billets de 10 pesos et 4 pièces de 5 pesos. Cela signifie que dans chaque tirelire il a mis 30 pesos en billets et 20 pesos en pièces. Pour calculer combien d'argent vous avez économisé au total dans vos tirelires, effectuez le calcul suivant :

(30 + 20) 7 = (30X7) + (20X7) = 210 + 140 = 350

C'est-à-dire que vous avez d'abord multiplié l'argent total que vous avez mis en billets par le total des tirelires, et puis multiplié le total de l'argent en pièces par le total des tirelires, puis ajouté le résultats.

Son frère Esteban fait le calcul en additionnant le total de ce qu'il a mis dans chaque tirelire puis en le multipliant par le total des tirelires :

30 pesos en billets de 10, et 20 pesos en pièces de 5: 30 + 20 = 50

On multiplie le total de chaque tirelire par le total des tirelires: 50 X 7 = 350

Comme on peut le voir, ils ont tous deux atteint le même résultat.

• (4 + 2) 3 = (4 x 3) + (2 x 3) = 12 + 6 = 18
• (6 + 9) 10 = (6 x 10) + (9 x 10) = 60 + 90 = 150
• 5x (3 - 4) = ((5 x) (3)) + ((5x) (- 4)) = 15x - 20x = –5x
• (3 + 9) 9 = (3 X 9) + (9 X 9) = 27 + 81 = 108
• 2 (5 + 7) = (2 X 5) + (2 X 7) = 24
• (8 + 5) (5 + 7) = (8X5) + (8X7) + (5X5) + (5X7) = 40 + 56 + 25 + 35 = 156
• (11–3) (8–3) = (11X8) + (11X – 3) + (- 3X8) + (- 3X – 3) = 88–33–24 + 9 = 40
• (a + 2b + c) 3 = (3a) + (6b) + (3c) = 3e + 6b + 3c
• (a + b) (a – b) = [(a) (a)] + [(a) (- b)] + [(b) (a)] + [(b) (- b)] = [ à²] + [- ab] + [ab] + [- b²] = un²-B²
• (a – b – c) (a²+ 3ab + 4b²+ c) = (un³) + (3e²b) + (4ab²) + (ca) + (–a²b) + (–3ab²) + (–4b³) + (–Bc) + (–a²c) + (–3abc) + (–4b²c) + (–c²) = un³ + 3a²b + 4ab² + ac - un²b - 3ab² - 4b³ - avant JC - un²c - 3abc - 4b²c-c² = un³ + 2a²b + ab² - 4b³ + ac - bc - 3abc - a²c - 4b²c-c²

Si nous additionnons deux nombres puis multiplions le résultat par un autre nombre, nous obtenons le même résultat que si nous multiplions chacun des addends par le même nombre, puis ajoutons les produits obtenu.
Exemples de propriété distributive :
Sergio compte tout l'argent qu'il gardait dans ses tirelires et effectue le calcul suivant :
(30 + 20) x 7 = 350
Il additionne la valeur de trois billets (30) et celle de deux pièces (20), et multiplie le résultat par 7.
20 x 7 + 30 x 7 = 140 + 210 = 350
Dans ce cas, il a multiplié la valeur des pièces (20) par sept et multiplié la valeur des billets de banque (30), et a ajouté les deux résultats. Il a conclu que dans les deux situations, le résultat final est le même.
Dans la propriété distributive, le produit d'une somme ou d'une addition par un nombre est égal à la somme des produits de chacun des addendes par le même nombre.
Autres exemples de propriété distributive :
1) (4 + 2) x 3 = 4 x 3 + 2 x 3 = 18
2) (6 + 9) x 10 = 6 x 10 + 9 x 10 = 150
3) 5 x (3 + 4) = 5 x 3 + 5 x 4 = 35
4) (3 + 9) x 9 = 3 x 9 + 9 x 9 = 108
5) 2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7 = 24
Gardez à l'esprit que dans la propriété distributive, les signes (+) et (-) séparent les termes. Et les opérations qui sont entre parenthèses sont résolues en premier.