Exemple de binômes conjugués

Au algèbre, une binôme est une expression avec deux mandats, qui ont une variable différente et sont séparés par un signe positif ou négatif. Par exemple: a + 2b. Lorsqu'il y a une multiplication de binômes, l'un des soi-disant Produits remarquables :

• Binôme au carré: (a + b)², ce qui est le même que (a + b) * (a + b)
• Binômes conjugués: (a + b) * (a - b)
• Binômes de terme commun: (a + b) * (a + c)
• Binôme au cube(a + b)³, ce qui est le même que (a + b) * (a + b) * (a + b)

A cette occasion, nous parlerons de binômes conjugués. Ce produit remarquable est la multiplication de deux binômes :

• Dans le premier, le deuxième terme a un signe positif: (a + b)
• Dans le second, le second terme a un signe négatif: (un B)

Il suffit que les deux signes soient différents. Peu importe la commande.

Règle du binôme conjugué

Lorsque deux de ces binômes se multiplient, une règle sera suivie pour résoudre cette opération :

• Carré du premier: (a)² = un²
• Moins le carré de la seconde: - (b)² = - b²

ಠ-b²

Cette règle très simple est vérifiée ci-dessous, en multipliant les binômes de manière traditionnelle, terme par terme :

(a + b) * (a - b)

• (a) * (a) = à²
• (a) * (-b) = -un B
• (b) * (a) = + ab
• (b) * (-b) = -b²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

ಠ- ab + ab - b²

En ayant des signes opposés, (-ab) et (+ ab) s'annulent, laissant finalement :

ಠ-b²

Exemples de binômes conjugués

Exemple 1.- (x + y) * (x - y) =X² -Oui²

• (x) * (x) = X²
• (x) * (- y) = -xy
• (y) * (x) = + xy
• (y) * (- y) = -O²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

X² - xy + xy - y²

En ayant des signes opposés, (-xy) et (+ xy) s'annulent, laissant finalement :

X² -Oui²

Exemple 2.- (a + c) * (a - c) =ಠ-c²

• (a) * (a) = à²
• (a) * (-c) = -ac
• (c) * (a) = + ca
• (c) * (-c) = -c²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

ಠ- ac + ac - c²

En ayant des signes opposés, (-ac) et (+ ac) s'annulent, laissant finalement :

ಠ-c²

Exemple 3.- (X² + et²) * (X² -Oui²) =X⁴ -Oui⁴

• (X²) * (X²) = X⁴
• (X²)*(-O²) = -X²Oui²
• (Oui²) * (X²) = + x²Oui²
• (Oui²)*(-O²) = -O⁴

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

X⁴ - X²Oui² + x²Oui² -Oui⁴

En ayant des signes opposés, (-x²Oui²) et (+ x²Oui²) sont annulés, laissant finalement :

X⁴ -Oui⁴

Exemple 4.- (4x + 8 ans²) * (4x - 8y²) =16x² - 64a⁴

• (4x) * (4x) = 16x²
• (4x) * (- 8 ans²) = -32xy²
• (8 ans²) * (4x) = + 32xy²
• (8 ans²) * (- 8 ans²) = -64 ans⁴

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

16x² - 32xy² + 32xy² - 64a⁴

En ayant des signes opposés, (-xy) et (+ xy) s'annulent, laissant finalement :

16x² - 64a⁴

Exemple 5.- (X³ + 3a) * (x³ - 3a) =X⁶ - 9a²

• (X³) * (X³) = X⁶
• (X³) * (- 3a) = -3ax³
• (3a) * (x³) = + 3x³
• (3e) * (- 3e) = -9a²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

X⁶ - 3x³ + 3x³ - 9a²

En ayant des signes opposés, (-xy) et (+ xy) s'annulent, laissant finalement :

X⁶ - 9a²

Exemple 6.- (a + 2b) * (a - 2b) =ಠ- 4b²

• (a) * (a) = à²
• (a) * (- 2b) = -2ab
• (2b) * (a) = + 2ab
• (2b) * (- 2b) = -4b²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

ಠ- 2ab + 2ab - 4b²

En ayant des signes opposés, (-2ab) et (+ 2ab) s'annulent, étant finalement :

ಠ- 4b²

Exemple 7.- (2c + 3d) * (2c - 3d) =4c² - 9j²

• (2c) * (2c) = 4c²
• (2c) * (- 3d) = -6cd
• (3d) * (2c) = + 6cd
• (3j) * (- 3j) = -9j²

Les résultats sont rassemblés et forment l'expression :

4c² - 6cd + + 6cd - 9d²

En ayant des signes opposés, (-6cd) et (+ 6cd) s'annulent, étant finalement :

4c² - 9j²