गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की परिभाषा

मूल रूप से, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति वे हैं जो तथाकथित की पूछताछ से उत्पन्न होती हैं यूक्लिड की 5वीं अभिधारणा, इसलिए यूक्लिड के कार्य का एक सामान्य लक्षण वर्णन आवश्यक है, जो एक यूनानी गणितज्ञ और भूमापी था, जिसका कार्य उसके लिए प्रतिमानात्मक है। ज्यामिति, इसके संस्थापकों में से एक माना जाता है। यह निश्चित रूप से जाना जाता है सुरक्षा जो लगभग 300 ईसा पूर्व अलेक्जेंड्रिया शहर में रहते थे, जो पुरातनता का एक सांस्कृतिक केंद्र था। सी।

उसका काम तत्वों यह 23 परिभाषाओं की सूची से बने "सिद्धांतों" की एक श्रृंखला से शुरू होता है; इसके बाद 5 अभिधारणाएँ हैं, जिनका उल्लेख है आंकड़ों विशेष रूप से ज्यामितीय; और 5 सामान्य स्वयंसिद्ध, अन्य गणितीय विषयों के लिए सामान्य। इसके बाद, सिद्धांतों के बाद, यूक्लिड ने दो प्रकार के "प्रस्तावों" का परिचय दिया: समस्याएं, जिन्हें संदर्भित किया गया है

इमारत नियम और कम्पास के साथ आंकड़े; और प्रमेय, गुणों के प्रदर्शन का जिक्र करते हुए कि कुछ ज्यामितीय आंकड़े.

यूक्लिड की पांचवी अभिधारणा

उसने व्यक्त किया की "यदि एक सीधी रेखा जो दो अन्य सीधी रेखाओं पर पड़ती है, एक ही भुजा के आंतरिक कोणों को दो सीधी रेखाओं से छोटा बनाती है, फिर, यदि दो रेखाएं अनिश्चित काल तक लंबी होती हैं, तो वे उस तरफ मिलती हैं जिस पर कोण दो से कम होते हैं सीधा”. यदि कोण समकोण हों, तो परिभाषा संख्या 23 के अनुसार ऐसी रेखाएँ समानांतर होंगी ("समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं, जो यदि एक ही तल में हों और अनिश्चित काल तक लंबी हों, तो किसी भी दिशा में नहीं मिलती हैं।”).

पिछले वाले की तुलना में अधिक जटिल, यह अभिधारणा अपने आप में निर्विवाद नहीं थी: यह स्पष्ट नहीं था कि, लंबे समय तक रेखाएँ अनिश्चित काल के लिए, वे उस तरफ प्रतिच्छेद करेंगी जहाँ कोण दो समकोण से कम थे, क्योंकि इसे सिद्ध करना संभव नहीं होगा इमारत। फिर, इस संभावना को खुला छोड़ दिया गया था कि रेखाएँ बिना किसी प्रतिच्छेदन के अनिश्चित काल तक एक-दूसरे के पास पहुँचती हैं।

पाँचवी अभिधारणा को सिद्ध करने का प्रयास

यही कारण है कि, पुरातनता से 19वीं शताब्दी के मध्य तक, पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के असफल प्रयासों की एक कड़ी थी: एक प्रमाण हमेशा प्राप्त किया गया था; लेकिन यूक्लिड से भिन्न कुछ अन्य अतिरिक्त अभिधारणा (तार्किक रूप से पांचवें के समतुल्य) का परिचय देना। अर्थात्, पाँचवाँ अभिधारणा सिद्ध नहीं की जा सकी, लेकिन एक समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित की गई।

इसका एक उदाहरण जॉन प्लेफेयर (एस. XVIII): "उस रेखा के समानांतर एक एकल बिंदु एक रेखा के बाहर एक बिंदु से होकर गुजरता है जो उसी तल में है।" (जाना जाता है "समानांतर अभिधारणा”). गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति यूक्लिडियन प्रणाली के पांचवें अभिधारणा को साबित करने के असफल प्रयासों से ठीक उत्पन्न होती हैं।

सच्चरी की गैरबराबरी की परीक्षा

1733 में, इतालवी गणितज्ञ गिरोलामो सच्चरी ने यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा की बेरुखी को साबित करने का प्रयास किया। ऐसा करने के लिए, उन्होंने एक चतुर्भुज (जिसे "के रूप में जाना जाता है) का निर्माण किया।सच्चरी का चतुर्भुज”, जिसमें कोणों का एक युग्म समकोण होता है) और कहा कि पाँचवाँ अभिधारणा इस प्रस्ताव के समतुल्य है कि अभिलक्षणिक कोण उस चतुर्भुज के (जो समकोण युग्म के सम्मुख होते हैं) भी समकोण होते हैं। फिर तीन हैं परिकल्पना संभव है, परस्पर अपवर्जी: कि दो अभिलक्षणिक कोण सम, न्यून या अधिक हैं। बेतुके द्वारा पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए (पाँचवें का सहारा लिए बिना) सिद्ध करना आवश्यक था अभिधारणा) कि अधिक और न्यून कोण की परिकल्पना में अंतर्विरोध निहित है और इसलिए, थे असत्य।

सच्चरी यह साबित करने में कामयाब रहे कि अधिक कोण परिकल्पना विरोधाभासी है, लेकिन वह न्यून कोण के मामले में सफल नहीं हुआ। इसके विपरीत, उन्होंने यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ संगत और असंगत प्रमेयों की एक श्रृंखला निकाली। अंत में, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि, इन प्रमेयों की विचित्रता को देखते हुए, परिकल्पना झूठी होनी चाहिए। नतीजतन, उनका मानना ​​​​था कि उन्होंने पांचवीं धारणा को बेतुका साबित कर दिया था; हालांकि, उन्होंने जो किया वह अनजाने में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के प्रमेयों का एक महत्वपूर्ण समूह साबित हुआ।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की "एक साथ" खोज

कार्ल एफ. गॉस, उन्नीसवीं सदी में, यह संदेह करने वाले पहले व्यक्ति थे कि पांचवीं अभिधारणा को अन्य चार से सिद्ध नहीं किया जा सकता था (अर्थात, यह स्वतंत्र रूप से) और एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की संभावना को समझने में जो चार यूक्लिडियन अभिधारणाओं पर आधारित थी और इसके निषेध पर आधारित थी। पाँचवाँ। उन्होंने अपनी खोज को कभी प्रकाशित नहीं किया: यह एक मामला माना जाता है एक साथ खोज, क्योंकि उनके पास तीन स्वतंत्र सन्दर्भ थे (स्वयं गॉस, जानोस बोल्याई और निकोलाई लोबाचेवस्की)।

इनकार करने के लिए पांचवां कानून यूक्लिडियन का तात्पर्य दो संभावनाओं से है (प्लेफेयर के समतुल्य सूत्रीकरण को लेना): एक सीधी रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, या तो कोई समानांतर पास नहीं है, या एक से अधिक समानांतर पास हैं। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में हम पाते हैं, उदाहरण के लिए, ज्यामिति "काल्पनिक"लोबचेवस्की द्वारा, - जिसे बाद में" के रूप में जाना जाता हैअतिपरवलिक"- इसके अनुसार, "एक रेखा के बाहरी बिंदु को देखते हुए, अनंत प्रतिच्छेदी रेखाएं, अनंत गैर-प्रतिच्छेदी रेखाएं और केवल दो समानांतर रेखाएं उस बिंदु से गुजरती हैं।”, अद्वितीय यूक्लिडियन समानांतर के विपरीत; या बर्नहार्ड रीमैन की अण्डाकार ज्यामिति, जिसमें कहा गया है कि "एक रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से, उस रेखा के समानांतर कोई भी नहीं गुजरता है।”.

खोज के अनुप्रयोग और निहितार्थ

वर्तमान में, यह ज्ञात है कि, स्थानीय अंतरिक्ष में, दोनों ज्यामिति अनुमानित परिणाम देती हैं। अंतर तब प्रकट होता है जब भौतिक स्थान को एक ज्यामिति या किसी अन्य द्वारा वर्णित किया जाता है, बड़ी दूरी पर विचार करते हुए। यद्यपि हम यूक्लिडियन ज्यामिति का उपयोग करना जारी रखते हैं, क्योंकि यह वह है जो स्थानीय स्तर पर हमारे स्थान का सबसे सरल वर्णन करता है, खोज गैर-यूक्लिडियन ज्यामितीयों की संख्या निर्णायक थी क्योंकि इसका अर्थ सत्य की समझ का आमूल परिवर्तन था वैज्ञानिक।

उस समय तक, यूक्लिडियन ज्यामिति को वास्तव में अंतरिक्ष का वर्णन करने के लिए माना जाता था। अन्य अभिधारणाओं के साथ किसी अन्य ज्यामिति के माध्यम से इसका वर्णन करने की संभावना को सिद्ध करते समय, उन मानदंडों पर पुनर्विचार करना आवश्यक था जिनके द्वारा एक स्पष्टीकरण या किसी अन्य को ग्रहण करना संभव था जैसे "सच”.

ग्रन्थसूची

मार्टिनेज लोर्का, ए. (1980) "सुकरात की नैतिकता और उस पर उनका प्रभाव" विचार ऑक्सिडेंटल", रेविस्टा बैटिका में: एस्टुडिओस डे अर्टे, भूगोल और इतिहास, 3, 317-334। मलागा विश्वविद्यालय।

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