मैक्सवेल के समीकरण क्या हैं, और उन्हें कैसे परिभाषित किया जाता है?

एंजेल ज़मोरा रामिरेज़ | जुलाई. 2022
भौतिकी में डिग्री

इन समीकरणों से पहले, यह कहा जाता था कि विद्युत और चुंबकीय बल "दूरी पर बल" थे, कोई भौतिक साधन ज्ञात नहीं था जिसके द्वारा इस प्रकार की बातचीत होगी। कई वर्षों के शोध के बाद बिजली यू चुंबकत्वमाइकल फैराडे ने कहा कि आवेशों और विद्युत धाराओं के बीच की जगह में कुछ भौतिक होना चाहिए जो उन्हें एक दूसरे के साथ बातचीत करने और सभी को प्रकट करने की अनुमति देगा। विद्युत और चुंबकीय घटनाएं जो ज्ञात थीं, उन्होंने सबसे पहले इन्हें "बल की रेखाओं" के रूप में संदर्भित किया, जिसके कारण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के अस्तित्व का विचार आया।

फैराडे के विचार पर निर्माण करते हुए, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने चार आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा प्रस्तुत एक क्षेत्र सिद्धांत विकसित किया। मैक्सवेल ने इसे "विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत" के रूप में संदर्भित किया और इस प्रकार की गणितीय भाषा को भौतिक सिद्धांत में शामिल करने वाले पहले व्यक्ति थे। वैक्यूम के लिए उनके अंतर रूप में मैक्सवेल के समीकरण (अर्थात, ढांकता हुआ और/या ध्रुवीकरण सामग्री की अनुपस्थिति में) इस प्रकार हैं:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\आंशिक \vec{B}}{\आंशिक टी}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\आंशिक \vec{E}}{\आंशिक टी}\)
अपने अंतर रूप में वैक्यूम के लिए मैक्सवेल के समीकरण

जहां \(\vec{E}~\) विद्युत क्षेत्र है, \(\vec{B}~\) चुंबकीय क्षेत्र है, \(\rho ~\) का घनत्व है आवेश, \(\vec{J}~~\) a से जुड़ा एक वेक्टर है विद्युत प्रवाह, \({{\epsilon }_{0}}~\) एक निर्वात की विद्युत पारगम्यता है और \({{\mu }_{0}}~~\) एक निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता है। इनमें से प्रत्येक समीकरण a. से मेल खाता है कानून विद्युत चुंबकत्व का और इसका एक अर्थ है। मैं उनमें से प्रत्येक को नीचे संक्षेप में बताऊंगा।

गॉस का नियम

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
विद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का नियम

यह पहला समीकरण हमें यह बताता है कि विद्युत आवेश विद्युत क्षेत्र के स्रोत हैं, यह विद्युत क्षेत्र सीधे आवेशों से "विचलन" करता है। इसके अलावा, विद्युत क्षेत्र की दिशा इसे उत्पन्न करने वाले विद्युत आवेश के संकेत से निर्धारित होती है, और क्षेत्र रेखाएं कितनी करीब हैं यह क्षेत्र के परिमाण को इंगित करता है। नीचे दी गई छवि कुछ हद तक संक्षेप में बताती है कि अभी क्या उल्लेख किया गया है।

चित्रण 1. Studiowork से।- दो बिंदु आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का आरेख, एक धनात्मक और एक ऋणात्मक.

इस कानून का नाम गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे अपने विचलन प्रमेय के आधार पर तैयार किया था।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस का नियम

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस का नियम

इस कानून का कोई विशिष्ट नाम नहीं है, लेकिन इसे पिछले समीकरण से समानता के कारण कहा जाता है। इस अभिव्यक्ति का अर्थ यह है कि "इलेक्ट्रिक चार्ज" के अनुरूप कोई "चुंबकीय चार्ज" नहीं है, यानी चुंबकीय क्षेत्र का स्रोत कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं है। यही कारण है कि अगर हम एक चुंबक को आधे में तोड़ दें तो हमारे पास दो समान चुंबक होंगे, दोनों उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव के साथ।

फैराडे का नियम

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\आंशिक \vec{B}}{\आंशिक टी}\)
फैराडे का प्रेरण का नियम

यह फैराडे द्वारा तैयार किया गया प्रेरण का प्रसिद्ध नियम है जब 1831 में उन्होंने पाया कि बदलते चुंबकीय क्षेत्र विद्युत धाराओं को प्रेरित करने में सक्षम थे। इस समीकरण का अर्थ यह है कि एक चुंबकीय क्षेत्र जो समय के साथ बदलता है, उत्प्रेरण करने में सक्षम है इसके चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र है, जो बदले में विद्युत आवेशों को गतिमान कर सकता है और a. बना सकता है धारा। हालांकि यह पहली बार में बहुत सारगर्भित लग सकता है, फैराडे का नियम मोटर्स, इलेक्ट्रिक गिटार और इंडक्शन कुकटॉप्स के कामकाज के पीछे है।

एम्पीयर-मैक्सवेल कानून

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\आंशिक \vec{E}}{\आंशिक टी}\)

यह समीकरण हमें सबसे पहली बात यह बताता है कि विद्युत धाराएँ धारा की दिशा के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं और वह उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण इसके परिमाण पर निर्भर करता है, ओर्स्टेड ने यही देखा और बाद में एम्पीयर ऐसा करने में सक्षम था तैयार करना हालाँकि, इस समीकरण के पीछे कुछ उत्सुकता है, और वह यह है कि पक्ष में दूसरा शब्द कानून मैक्सवेल द्वारा समीकरण का परिचय दिया गया था क्योंकि यह अभिव्यक्ति मूल रूप से असंगत थी दूसरों के साथ, विशेष रूप से, इसने विद्युत आवेश के संरक्षण के कानून का उल्लंघन किया। इससे बचने के लिए मैक्सवेल ने बस इस दूसरे शब्द को पेश किया ताकि उनका पूरा सिद्धांत सुसंगत हो, यह शब्द "विस्थापन धारा" नाम प्राप्त हुआ और उस समय इसका समर्थन करने के लिए कोई प्रायोगिक साक्ष्य नहीं था। बैकअप लेंगे

चित्रण 2. De Rumruay.- एक केबल के माध्यम से बहने वाला विद्युत प्रवाह एम्पीयर के नियम के अनुसार उसके चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है।

विस्थापन धारा का अर्थ यह है कि जिस प्रकार एक चुंबकीय क्षेत्र चर एक विद्युत क्षेत्र को प्रेरित करता है, एक विद्युत क्षेत्र जो समय के साथ बदलता है एक क्षेत्र उत्पन्न करने में सक्षम है चुंबकीय। विस्थापन धारा की पहली प्रायोगिक पुष्टि के अस्तित्व का प्रदर्शन थी 1887 में हेनरिक हर्ट्ज द्वारा विद्युत चुम्बकीय तरंगें, के सिद्धांत के प्रकाशन के 20 से अधिक वर्षों बाद मैक्सवेल। हालाँकि, विस्थापन धारा का पहला प्रत्यक्ष माप एम द्वारा किया गया था। आर। 1929 में वैन कॉवेनबर्ग।

प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है

मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा की गई पहली मनमौजी भविष्यवाणियों में से एक का अस्तित्व है विद्युत चुम्बकीय तरंगें, लेकिन इतना ही नहीं, उन्होंने यह भी बताया कि प्रकाश को इसी की एक लहर होनी चाहिए टाइप। इसे कुछ हद तक देखने के लिए हम मैक्सवेल के समीकरणों के साथ खेलेंगे, लेकिन इससे पहले, यहां किसी भी तरंग समीकरण का रूप दिया गया है:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ टी}^{2}}}\)
तीन आयामों में तरंग समीकरण का सामान्य रूप।

जहां \({{\nabla }^{2}}\) लैप्लासियन संचालिका है, \(u\) एक तरंग फलन है, और \(v\) तरंग की गति है। हम रिक्त स्थान में मैक्सवेल के समीकरणों के साथ भी काम करेंगे, अर्थात विद्युत आवेशों और विद्युत धाराओं की अनुपस्थिति में, केवल विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\आंशिक \vec{B}}{\आंशिक टी}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

और हम निम्नलिखित का भी उपयोग करेंगे पहचान वेक्टर कलन:

\(\nabla \times \left(\nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \समय{ए}\)

यदि हम उपरोक्त रिक्त स्थान के लिए मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग करके इस पहचान को विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में लागू करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\आंशिक {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\आंशिक {{t}^{2}}}\)

इन समीकरणों की समानता को ऊपर दिए गए तरंग समीकरण में नोट करें, in निष्कर्ष, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंगों (विद्युत चुम्बकीय तरंगों) की तरह व्यवहार कर सकते हैं। यदि हम इन तरंगों की गति को \(c\) के रूप में परिभाषित करते हैं और इन समीकरणों की तुलना उपरोक्त तरंग समीकरण से करते हैं तो हम कह सकते हैं कि गति है:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) और \({{\epsilon }_{0}}\) क्रमशः निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता और विद्युत पारगम्यता हैं, और दोनों स्थिरांक हैं सार्वभौमिक जिनके मान \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) और \({{\ एप्सिलॉन } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि \(c\) का मान \(c=299,792,458\frac{m}{s}\लगभग 300,000~km/s\) है जो वास्तव में गति की गति है रोशनी।

इस छोटे से विश्लेषण से हम तीन बहुत महत्वपूर्ण निष्कर्ष प्राप्त कर सकते हैं:

1) विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंगों की तरह व्यवहार कर सकते हैं, अर्थात विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जो निर्वात के माध्यम से भी प्रचार करने में सक्षम हैं।

2) प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है जिसकी गति चुंबकीय पारगम्यता और पारगम्यता पर निर्भर करती है जिस माध्यम से यह फैलता है, रिक्त स्थान में प्रकाश की गति लगभग होती है 300,000 किमी/सेकंड।

3) चूंकि चुंबकीय पारगम्यता और विद्युत पारगम्यता सार्वभौमिक स्थिरांक हैं, तो प्रकाश की गति भी एक सार्वभौमिक स्थिरांक है, लेकिन इसका अर्थ यह भी है कि इसका मूल्य निर्भर नहीं करता है का रूपरेखा जिससे इसे मापा जाता है।

यह अंतिम कथन उस समय अत्यधिक विवादास्पद था। यह कैसे संभव है कि की गति प्रकाश को मापने वाले व्यक्ति की गति और प्रकाश स्रोत की गति की परवाह किए बिना समान है। रोशनी? किसी चीज की गति सापेक्ष होनी चाहिए, है ना? खैर, यह उस समय के भौतिकी के लिए एक वाटरशेड था और इस सरल लेकिन गहन तथ्य ने 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा विशेष सापेक्षता के सिद्धांत का विकास किया।