संचालन का पदानुक्रम क्या है?

संचालन का पदानुक्रम एक गणितीय सम्मेलन है जो उस क्रम को स्थापित करता है जिसमें संयुक्त गणना क्रियाएं की जानी चाहिए एक ही गणितीय कथन, अर्थात्, जब कोई गणितीय कथन होता है जहाँ गणितीय संक्रियाएँ होती हैं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घात और मूल) संयुक्त रूप से, परिणाम पर पहुंचने के लिए इन्हें एक विशिष्ट क्रम में किया जाना चाहिए सामान्य।

लेकिन पदानुक्रम की आवश्यकता क्यों है? इसका उत्तर देने के लिए, हमें सबसे पहले गणितीय संक्रियाओं की प्रकृति को अच्छी तरह से समझना होगा, जिसमें एक रूपांतरण होता है जो एक समुच्चय के तत्वों पर लागू होता है। आइए, उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के बारे में सोचें, यानी वे संख्याएँ जिन्हें हम सभी जानते हैं। यदि हम एक संख्या a लेते हैं और इसे दूसरी संख्या b से जोड़ते हैं तो हमें दूसरी संख्या c प्राप्त होगी जो वास्तविक संख्याओं के उसी समूह से संबंधित है, वह है:

ए + बी = सी

इसके अलावा, जिस क्रम में जोड़ प्रस्तुत किए जाते हैं, वह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, अर्थात ए + बी = बी + ए, इस संपत्ति को कम्यूटेटिविटी कहा जाता है। जोड़ के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह मूल संक्रिया है जिससे अन्य सभी व्युत्पन्न होते हैं। गुणन बार-बार जोड़ने की श्रृंखला से ज्यादा कुछ नहीं है। यदि हमारे पास फिर से एक संख्या है और हम इसे एक संख्या b से गुणा करते हैं, तो हम जो कर रहे हैं वह कभी-कभी संख्या b को स्वयं के साथ जोड़ना है, या, वैकल्पिक रूप से, b को संख्या a से गुणा करना है। उत्तरार्द्ध इसलिए है क्योंकि गुणन क्रमविनिमेय है जैसे कि जोड़, इसका तात्पर्य है कि:

a⋅b = b⋅a. उपरोक्त के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इसे हम एक उदाहरण से आसानी से समझ सकते हैं। आइए 5×2 गुणा करते हैं:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

अब, क्या होगा यदि हमें एक ऐसी संक्रिया करनी हो जिसमें हमने योग को गुणन से जोड़ दिया हो? उदाहरण के लिए: a⋅b+c। वह कौन सा क्रम है जिसमें जोड़ और गुणा किया जाना चाहिए? हमें किस संक्रिया को वरीयता देनी है? यदि हम पहले गुणा करते हैं और इसे योग के रूप में विकसित करते हैं तो हमारे पास होगा:

अब, यदि हम पहले जोड़ और फिर गुणा करते हैं तो हमें यह प्राप्त होगा:

चूँकि योग क्रमविनिमेय है, इसलिए हम समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से समूहित कर सकते हैं:

दोनों स्थितियों में प्राप्त परिणामों की तुलना करने पर यह महसूस करना आसान है कि:

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि जिस क्रम में संचालन करने का निर्णय लिया गया है वह प्राप्त परिणाम को प्रभावित करता है। ऐसा ही तब होता है जब हम शक्तियों को शामिल करते हैं। जब हम एक संख्या b को एक घात c तक बढ़ा देते हैं, तो हम जो कर रहे हैं वह c को संख्या b से गुणा कर रहा है, अर्थात:

अब हम गुणन और घात a⋅b को शामिल करते हुए निम्नलिखित संयुक्त संक्रिया को करने के लिए आगे बढ़ते हैं^सी एक अलग क्रम में जैसा कि हमने पिछले मामले में किया था। अगर हम पहले सत्ता को प्राथमिकता देते हैं तो हमारे पास:

अब, यदि हम पहले गुणन और फिर घात करते हैं, तो हमारे पास होगा:

गुणन की क्रमविनिमेयता का लाभ उठाते हुए हम समीकरण के दाहिने पक्ष को इस प्रकार पुनर्समूहित कर सकते हैं:

फिर से, हम यह महसूस करने के लिए एक अलग क्रम में संचालन करके प्राप्त परिणामों की तुलना कर सकते हैं:

साथ ही इस मामले में जिस क्रम में संचालन किया जाता है वह प्राप्त परिणाम को प्रभावित करता है। तो, वह कौन सा क्रम है जिसमें संचालन किया जाना है? संचालन का पदानुक्रम यह स्थापित करता है कि गुणन की तुलना में शक्तियाँ पदानुक्रम के उच्च स्तर पर हैं, इस तरह से कि गणितीय कथन में शक्तियों की पूर्वता है। बदले में, गुणन में जोड़ की तुलना में उच्च पदानुक्रम स्तर होता है।

लेकिन घटाव, विभाजन और जड़ों के बारे में क्या? घटाना योग की विपरीत क्रिया है, जब हम एक संख्या a में से एक संख्या b घटाते हैं तो हमें दूसरी संख्या c प्राप्त होती है जैसे कि c+b=a. कुछ ऐसा ही विभाजन और घटाव के साथ होता है। यदि हम संख्या a को संख्या b से विभाजित करते हैं और परिणामस्वरूप संख्या c प्राप्त करते हैं, तो हमें एक संख्या ऐसी मिलती है कि b⋅c=a। और अंत में, एक संख्या a के मूल b की गणना करके हम एक संख्या c पाते हैं जैसे कि c^बी= एक। ये तुल्यताएँ क्रमशः जोड़, गुणा और घात के समान पदानुक्रम स्तर पर घटाव, विभाजन और मूल को रखती हैं।

कोष्ठक और कोष्ठक अभ्यास

अब, क्या होता है यदि हम किसी गणितीय कथन में उनके पदानुक्रम स्तर पर ध्यान दिए बिना कुछ संक्रियाओं को प्राथमिकता देना चाहते हैं? ऐसा करने के लिए, कोष्ठक और वर्ग कोष्ठक का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि हमारे पास a⋅b+c सिद्धांत का कथन है। हमने पहले जो कहा है, उसके साथ हम पहले से ही जानते हैं कि हमें पहले गुणा करना है और फिर जोड़ना है। लेकिन, अगर हम चाहते हैं कि ऐसा न हो तो क्या होगा? ऐसा करने के लिए, हमें गुणन से जोड़ को अलग करने के लिए कोष्ठक या वर्ग कोष्ठक का उपयोग करना होगा और इस प्रकार पहले जोड़ की गणना करने को प्राथमिकता देनी होगी, अर्थात: a⋅(b+c)। यह कोष्ठकों और वर्ग कोष्ठकों द्वारा अलग-अलग बयानों को अन्य सभी कार्यों पर सर्वोच्च प्राथमिकता देने का कारण बनता है।

ऊपर कही गई सभी बातों के साथ, संचालन का पदानुक्रम, या जिस क्रम में उन्हें किया जाना चाहिए, वह इस प्रकार है:

1) कोष्ठक और कोष्ठक
2) शक्तियां और जड़ें
3) गुणा और भाग
4) जोड़ और घटाव

संदर्भ

एच। बेन्के, एफ. बछमन, के. फ्लड्ट, डब्ल्यू। सूस, एच। गेरिक, एफ. हॉनबर्ग, जी. पिकेर्ट, एच. राऊ एंड एस. एच। गोल्ड। (1983). गणित के मूल सिद्धांत: खंड I। कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स और लंदन: एमआईटी प्रेस।