उचित और अनुचित भिन्न की परिभाषा

उचित अंशों में एक सकारात्मक गुण अंश और भाजक होता है, जहाँ अंश भाजक से छोटा है, और हमेशा 1 से कम मान के साथ, जिसकी सांकेतिक भाषा है व्यक्त करता है:
अंश \(\frac{a}{b}\), 0

दूसरी ओर, अनुचित भिन्न में, अंश और हर धनात्मक होते हैं, जिससे अंश बड़ा होता है या भाजक के बराबर, और एक मान के साथ जो 1 से अधिक या उसके बराबर हो सकता है, जिसकी प्रतीकात्मक भाषा है स्थापित करता है:
अंश \(\frac{a}{b}\), 0

अंश के गणितीय और वैचारिक सिद्धांत

वस्तु का अंश विभाजित करने और समान भागों में लेने से उत्पन्न होता है, जो अंश की अवधारणा का सहज विचार है, न कि हालाँकि, औपचारिक परिभाषा में कहा गया है कि: एक संख्या एक अंश है यदि इसे एक पूर्णांक \(a\) को एक पूर्णांक \(b\ne 0\) से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, जो है के रूप में लिखें:

\(\frac{a}{b},~{}^{a}\!\!\diagup\!\!{}_{b}\;,~a\div b\)

ऊपर एक अंश के संख्यात्मक निरूपण में से एक है।

अंश \(\frac{a}{b},~b\ne 0,\) की व्याख्या यह है कि एक वस्तु को \(b\) बराबर भागों में विभाजित किया गया है और \(a\) उनसे लिया गया है।

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac{3}{8}\) का अर्थ है कि किसी वस्तु को 8 बराबर भागों में विभाजित किया गया है और उनमें से 3 को लिया गया है।

अनिवार्य रूप से, एक अंश दो तत्वों द्वारा शासित होता है: अंश (समान भागों की संख्या को इंगित करता है लिया गया है) और भाजक (वह संख्या जिसमें वस्तु को विभाजित किया गया है और हमेशा शून्य से अलग होना चाहिए)। इस प्रकार भिन्न \(\frac{4}{7}\) में अंश 4 है और हर सात है और भिन्न को चार सातवें या 4 को 7 से विभाजित करके पढ़ा जाता है।

सामान्य तौर पर, अंश का रूप होता है:

\(\frac{\text{अंश}}}{\text{भाजक}}\)

एक अंश के विभिन्न प्रतिनिधित्व

ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

आयत को 12 बराबर भागों में विभाजित किया गया है; नीला क्षेत्र \(\frac{5}{12}~\) का प्रतिनिधित्व करता है और पीला क्षेत्र \(\frac{7}{12}.\) का प्रतिनिधित्व करता है।

वृत्त में, यह दर्शाता है कि \(\frac{1}{3}~\)(एक तिहाई) निकाला जाएगा और \(\frac{2}{3}\) रहेगा।

मौखिक प्रतिनिधित्व

हम पहले से ही मौखिक भाषा का उपयोग एक अंश को पाँच छठवें के रूप में व्यक्त करने के लिए कर चुके हैं \(\frac{5}{6};~\)लेकिन विभिन्न मीडिया के लिए हमें इसके बारे में जानकारी देना आम बात है निम्नलिखित तरीके से:

दुनिया में, 15 वर्ष से अधिक आयु के 10 में से लगभग 9 लोग पढ़ना और लिखना जानते हैं, जिसे संख्यात्मक रूप से \(\frac{9}{10}\) के रूप में समझा जाता है।

एक और उदाहरण है

"मेक्सिको में, 24 में से 13 लोग महिलाएं हैं, जबकि दुनिया भर में 770 में से 381 लोग हैं महिला लिंग" संख्यात्मक रूप से उपरोक्त का अर्थ है \(\frac{13}{24}~~\)y \(\frac{381}{770}\), क्रमश।

प्रतिशत के साथ प्रतिनिधित्व

व्यवसाय आमतौर पर छूट की पेशकश करते हैं और इसे प्रतिशत में व्यक्त करते हैं ताकि आपको यह पता चल सके कि आप प्रत्येक $100 के लिए कितना कम भुगतान करने जा रहे हैं। उदाहरण के लिए, 30% की छूट इंगित करती है कि प्रत्येक $100 के लिए वे $30 की छूट देंगे और 30% को व्यक्त करने का एक वैकल्पिक तरीका अंश के साथ है \(\frac{30}{100}.\)

ब्याज दर, मुद्रास्फीति, सकल घरेलू उत्पाद में वृद्धि जैसे कई आर्थिक चर प्रतिशत में व्यक्त किए जाते हैं (सकल घरेलू उत्पाद) उदाहरण के लिए, यदि कोई बैंक आपको निवेश करते समय 5% ब्याज दर प्रदान करता है वे; यह आपसे वादा कर रहा है कि प्रत्येक $100 के लिए वे आपको $5 देंगे, इसलिए \(5%~\) को भी \(\frac{5}{100}\) द्वारा दर्शाया गया है।

दशमलव प्रतिनिधित्व

संख्या \(0.4\) को 4 दहाई के रूप में पढ़ा जाता है; जिसे \(\frac{4}{10},\) से प्रदर्शित किया जाता है जो है:

\(0.4=\frac{4}{10}\)

संख्या \(0.625\) की व्याख्या \(625\) हजारवां के रूप में की जाती है, और हम निम्नलिखित समानता की गारंटी दे सकते हैं:

\(0.625=\frac{625}{1000}\)

किसी अंश का दशमलव प्रतिनिधित्व खोजने के लिए, विभाजन को मैन्युअल रूप से या कैलकुलेटर के साथ करना आवश्यक है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं

\(\frac{5}{8}=0.625\)

\(\frac{8}{5}=1.6\)

\(\frac{2}{3}=0.\bar{6}\)

\(\frac{1}{7}=0.\overline{142857}\)

उचित अंश

इसके बाद, हम उनके विभिन्न निरूपणों में उचित भिन्नों के कई उदाहरण दिखाएंगे।

\(\frac{1}{8},~\frac{4}{5},~\frac{13}{16},\frac{17}{24}\) उचित भिन्न हैं।

पिछले आंकड़ों का प्रकाशित हिस्सा उचित अंश हैं और दोनों \(\frac{3}{4}\) का प्रतिनिधित्व करते हैं।

संख्याएं \(0.5,~0.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~0.1\bar{6}\) दशमलव प्रतिनिधित्व हैं उचित भिन्न \(\frac{1}{2},\frac{3}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{1}{6},\ ) क्रमश।

प्रतिशत 30%, 25%, और 50% को भिन्न \(\frac{3}{10},\frac{1}{4},~\text{y}~\frac{1}{1}{1} द्वारा दर्शाया जा सकता है 2}\)

अनुचित अंश

इसके बाद, हम उनके विभिन्न निरूपणों में अनुचित भिन्नों के कई उदाहरण दिखाएंगे।

\(\frac{5}{4},\frac{19}{7},\frac{11}{9}~\) अनुचित भिन्न हैं।

पिछली आकृतियों का प्रकाशित भाग उसी अनुचित अंश का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात्, \(\frac{6}{4}.\)

संख्याएं \(1.5,~3.375,\text{ }\!\!~\!\!\text{ y}~6.1\bar{6}\) दशमलव प्रतिनिधित्व हैं उचित भिन्न \(\frac{3}{2},\frac{27}{8}~\text{y }\!\!~\!\!\text{ }\frac{37}{6},\ ) क्रमश।

प्रतिशत 130%, 105%, और 150% को भिन्न \(\frac{130}{100},\frac{105}{100},~\text{y}~\frac{150}{150}{100} द्वारा दर्शाया जा सकता है 100}\)